极限、微分、积分必会公式总结

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一、极限
x->0 时的等价无穷小：
x ~ e^x -1 ~ ln(x+1) ~ tanx ~ sinx ~arctanx ~ arcsinx
1-cosx ~ 1/2 x² ~ x-ln(x+1)
1-cos^ax ~ a/2 x²
log_a(x+1) ~ x/lna
a^x-1 ~ xlna
(1+x)^a-1 ~ ax
(1+x)^1/x ~ e
(1+f(x))^g(x) ~ e^f(x)g(x)
x-sinx ~ arcsinx-x ~ 1/6 x³
tanx -x ~ x-arctanx ~ 1/3 x³
tanx-sinx ~ 1/2 x³
x->∞ 时的等价无穷大：
x^1/x ~ 1
a^1/x ~ 1
二、微分
sin’x=cosx
cos’x=-sinx
tan’x=sec²x
cot’x=-csc²x
sec’x=secxtanx
csc’x=-cscxcotx
arcsin’x=1/(1-x²)^1/2
arccos’x=-1/(1-x²)^1/2
arctan’x=1/1+x²
arccot’x=-1/1+x²
(tanx-x)’=tan²x
(xⁿ⁺¹)’=(n+1)xⁿ
(log_ax)’=1/xlna
(a^x)’=a^xlna
三、积分
(已于微分公式中提到的不再赘述)
∫1/(a²-x²)^1/2=arcsin(x/a)+C
∫1/(a²+x²)=1/a[arctan(x/a)]+C
∫1/(x²±a²)^1/2=ln|x+(x²±a²)^1/2|+C
∫1/(a²-x²)=1/2a[ln|(a+x)/(a-x)|]+C
∫tanx=-ln|cosx|+C
∫cotx=ln|sinx|+C
∫secx=ln|secx+tanx|+C
∫cscx=ln|cscx-cotx|+C

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