【读书笔记-＞统计学】03-01 各种“距”和“差”-极差（全距）、四分位距（数）、百分位数、箱线图概念简介
各种“距”和“差”
上一章中我们学习了平均数，但是它有自己的有限性。为了得到更多的信息，我们开始学习各种“距”和“差”。
情境：现在我们想要招募一名球员，他们的历史得分分别如下：
可以看到，他们的得分均值、中位数和众数都是10分，他们是以不同的方式获得这些成绩的。他们在稳定发挥方面存在差异，平均数无法量度这一差异。
极差（全距）
通过计算极差（等同于全距），我们可以轻易获知数据分散情况。极差指出数据的扩展范围，有点儿像测量数据的宽度。它是量度数据分散程度的既简单又方便的方法。
极差的计算方法是：用数据集中的最大数减去数据集中的最小数。
比如“7 8 9 9 10 10 11 12 13”的极差为13-7=6
全距：全距也叫极差，是用于量度数据集分散程度的一种方法。其算法为：上界-下界
其中上界为最大值，下界为最小值
但是极差也有局限的地方，比如“8 9 9 10 10 10 11 11 12”和“8 10 10 10 10 10 10 10 10 12”。它们的极差都是4。原因是：第二个数据集中含有异常值（极大值12和极小值8）。极差仅仅描述了数据的宽度，并没有描述数据在上、下界之间的分布形态。
如果数据中包含异常值，使用极差描述数据的分散情况会极具误导性，因为它很容易受异常值影响。
举个例子，下图在没有10的时候，它的极差是4。然而在出现了异常值之后，它的极差就会增加到9。区区一个值就能将极差变化的这么大。
可以看到极差有一些局限性，极差只是对数据分布情况极其基本的描述，它的值就是“极大值-极小值”得出来的，不能指出数据的真实心态以及数据知否包含异常值。
四分位距
为了消除异常值的影响，我们可以使用四分位数。
四分位数：四分位数是这样一些数值：它们将数据一分为四，最小的四分位数称为下四分位数，最大的四分位数称为上四分位数，中间的四分位数即中位数。
首先按升序排列数据，将这些数据分成四个相等的数据块，每个数据块包含四分之一原有数据。我们可以用介于两条外分割线之间的数值构建一个距。
上面，将数据一分为四的几个数值就是所谓的四分位数。
- Q1：最小的四分位数，称为下四分位数或第一四分位数
- Q2：中间的四分位数，称为中位数
- Q3：最大的四分位数，称为上四分位数或第三四分位数
四分位距（interquartile range, IQR） = 上四分位数 - 下四分位数
四分位距为我们提供了一种用于量度数据分散程度的标准的、可重复使用的方法（实际上功能上和极差一样，但是它能剔除异常值）。
四分位距能较少受到异常值的影响。因为上和下四分位数之外都还有25%的数据。而异常值通常都是极大值或极小值，根据它的计算方法，它能忽略这些异常值。我们仅仅考虑了中间50%的数值，这样就把异常值排除在外了。
在计算四分位距之前，要先会算四分位数，请看下面。
四分位数的计算
与求中位数的过程非常相似，我们复习一下中位数的求值过程：先将所有数值按升序排列。如果有n个数，如果(n+1)/2位于两个数字之间，则取它们的平均值；如果(n+1)/2刚好是整数，那这个位置的值就是中位数。
接下来我们求下和上四分位数的位置。
求下四分位数的位置
- 计算n/4
- 如果为整数，则下四分位数位于“n/4”这个位置和下一个位置的中间，取它们位置的数值的平均值
- 如果不是整数，则向上取整（不管四舍五入的规则，只要后面有小数前面的整数就加1），这个位置的数值即下四分位数
例子，如果有6个数，6/4=1.5，向上取整得到2，下四分位数的位置为2。
求上四分位数的位置
- 计算3n/4
- 如果为整数，则上四分位数位于“3n/4”这个位置和下一个位置的中间，取它们位置的数值的平均值
- 如果不是整数，则向上取整，这个位置的数值即上四分位数
书上有一道例题，老样子，希望先写出自己的解答再对答案。
百分位数
全距和四分位距可以量度一批数据的数值分散情况。全卷是最大值和最小值之间的差值，而四分位距则关注数据中间部位的50%数值。除了这些距，我们可以使用别的距。打个比方，将数据分成十份。
在上例中，我们的数据被分成10份，因此起分割作用的数值被称为十分位数。同理，如果将一批数据按百分比进行分割，则起分割作用的数值被称为百分位数。我们可以用百分位数构建一个新的距，百分位距。
百分位数：第k百分位数即位于数据范围k%处的数值，记为：PkP_kPk
百分位数是将数据一分为百的数值。每个百分位数按照它所分割出来的数据的百分比进行命名，因此，第十百分位数就是位于数据范围10%处的数值。
百分位数在划分名词、排行中很有用。你可以通过百分位数确定某个数值相对于其他数值的高低。例如，假定你听说自己在统计学测验中得了50分，仅看这个数字本身，你无法知道自己和别人相比是好是坏。可如果有人告诉你这次的测验的第90百分数是50分，那么你就知道，你的分数高于或等于其他90%的人的分数。
求百分位数
与求四分位数的方法相似。
- 首先将所有数值按升序排序
- 为了求出n个数字的第k百分位数的位置，先计算k(n100)k(\frac{n}{100})k(100n)
- 如果结果是整数，则百分位数位于第k(n100)k(\frac{n}{100})k(100n)位和下一位数之间。取这两个位置上的数字的平均值，得出百分位数
- 如果结果不是整数，则将其向上取整，结果即百分位数的位置
例如，如果你有125个数，要求十分位数，则先计算10*125/100=12.5。将此结果向上取整，得13，即十分位数为处于第13位的数值。
箱线图
上述的各种距，可以利用箱线图来展示，它也叫箱型图。箱线图显示数据的全距（极差）、四分位距以及中位数。在同一张箱线图上可以比较几批数据，它可以帮助比较多个不同数据集。
我们先看看一个箱线图例子。
“箱子”的左右两边分别代表下四分位数和上四分位数；箱子中间的一条线表示中位数；通过箱子可以看出四分位距的宽度；随后，箱子两边画出“线”，显示出全距（极差）的上界、下界以及宽度。
如果数据有异常值，则全距会更宽。可以通过观察箱线图上的线，就能了解数据的偏斜程度。如果箱线图是对称的，表示基础数据很可能也相当对称。
这是一道利用“箱线图”做出决策的例题，大家可以参考。
注意：球员A的中位数和四分位数都高于球员B。
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