盘点那些必问的数据结构算法题之二叉树基础

0 概述
1 定义
2 基本操作
- 1) 创建结点
- 2) BST 插入结点
- 3) BST 删除结点
- 4) BST 查找结点
- 5）BST 最小值结点和最大值结点
- 6）二叉树结点数目和高度
3 二叉树遍历
- 递归遍历-先序、中序、后序、层序
- 非递归遍历-先序、中序、后序、层序
参考资料

0 概述

在说二叉树前，先来看看什么是树。树中基本单位是结点，结点之间的链接，称为分支。一棵树最上面的结点称之为根节点，而下面的结点为子结点。一个结点可以有0个或多个子结点，没有子结点的结点我们称之为叶结点。

二叉树是指子结点数目不超过2个的树，它是一种很经典的数据结构。而二叉搜索树(BST)是有序的二叉树，BST需要满足如下条件：

若任意结点的左子树不空，则左子树上所有节点的值均小于它的根节点的值；
若任意结点的右子树不空，则右子树上所有节点的值均大于或等于它的根节点的值；(有些书里面定义为BST不能有相同值结点，本文将相同值结点插入到右子树)
任意结点的左、右子树也分别为二叉查找树；

本文接下来会从定义，二叉搜索树的增删查以及二叉树的递归和非递归遍历进行整理。

1 定义

我们先定义一个二叉树的结点，如下：

typedef struct BTNode {int value;struct BTNode *left;struct BTNode *right;
} BTNode;

其中 value 存储值，left 和 right 指针分别指向左右子结点。二叉搜索树跟二叉树可以使用同一个结构，只是在插入或者查找时会有不同。

2 基本操作

接下来看看二叉树和二叉查找树的一些基本操作，包括BST插入结点，BST查找结点，BST最大值和最小值，二叉树结点数目和高度等。二叉查找树(BST)特有的操作都在函数前加了 bst 前缀区分，其他函数则是二叉树通用的。

1) 创建结点

分配内存，初始化值即可。

/*** 创建BTNode*/
BTNode *newNode(int value)
{BTNode *node = (BTNode *)malloc(sizeof(BTNode));node->value = value;node->left = node->right = NULL;return node;
}

2) BST 插入结点

插入结点可以用递归或者非递归实现，如果待插入值比根节点值大，则插入到右子树中，否则插入到左子树中。如下图所示(图来自参考资料1，2，3)：

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-ADCEIwKe-1661525904108)(https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/8KKrHK5ic6XDzLw0jnnRYda72jvgRzbqoGB7gZrE1kPOFDpZmrh8j8wX6tuZ2R9vDiawaKiczZIjDbrqpavahkeag/640?wx_fmt=other&wxfrom=5&wx_lazy=1&wx_co=1)]

/*** BST中插入值，递归方法*/
/*** BST中插入结点，递归方法*/
BTNode *bstInsert(BTNode *root, int value)
{if (!root)return newNode(value);if (root->value > value) {root->left = bstInsert(root->left, value);} else {root->right = bstInsert(root->right, value);}return root;
}/*** BST中插入结点，非递归方法*/
BTNode *bstInsertIter(BTNode *root, int value)
{BTNode *node = newNode(value);if (!root)return node;BTNode *current = root, *parent = NULL;while (current) {parent = current;if (current->value > value)current = current->left;elsecurrent = current->right;}if (parent->value >= value)parent->left = node;elseparent->right = node;return root;
}

3) BST 删除结点

删除结点稍微复杂一点，要考虑3种情况：

删除的是叶子结点，好办，移除该结点并将该叶子结点的父结点的 left 或者 right 指针置空即可。

删除的结点有两个子结点，则需要找到该结点左子树的最大结点(使用后面的bstSearchIter 函数)，并将其值替换到待删除结点中，然后递归调用删除函数删除该结点左子树最大结点即可。

删除的结点只有一个子结点，则移除该结点并将其子结点的值填充到该删除结点即可(需要判断是左孩子还是右孩子结点)。

/*** BST中删除结点*/
BTNode *bstDelete(BTNode *root, int value)
{BTNode *parent = NULL, *current = root;BTNode *node = bstSearchIter(root, &parent, value);if (!node) {printf("Value not found\n");return root;}if (!node->left && !node->right) {// 情况1：待删除结点是叶子结点if (node != root) {if (parent->left == node) {parent->left = NULL;} else {parent->right = NULL;}} else {root = NULL;}free(node);} else if (node->left && node->right) {// 情况2：待删除结点有两个子结点BTNode *predecessor = bstMax(node->left);bstDelete(root, predecessor->value);node->value = predecessor->value;} else {// 情况3：待删除结点只有一个子结点BTNode *child = (node->left) ? node->left : node->right;if (node != root) {if (node == parent->left)parent->left = child;elseparent->right = child;} else {root = child;}free(node);}return root;
}

4) BST 查找结点

注意在非递归查找中会将父结点也记录下来。【41期】盘点那些必问的数据结构算法题之链表

/*** BST查找结点-递归*/
BTNode *bstSearch(BTNode *root, int value)
{if (!root) return NULL; if (root->value == value) {return root;} else if (root->value > value) {return bstSearch(root->left, value);} else {return bstSearch(root->left, value);}
}/*** BST查找结点-非递归*/
BTNode *bstSearchIter(BTNode *root, BTNode **parent, int value)
{if (!root) return NULL;BTNode *current = root;while (current && current->value != value) {*parent = current;if (current->value > value)current = current->left;elsecurrent = current->right;}return current;
}

5）BST 最小值结点和最大值结点

最小值结点从左子树递归查找，最大值结点从右子树递归找。

/*** BST最小值结点*/
BTNode *bstMin(BTNode *root)
{if (!root->left)return root;return bstMin(root->left);
}/*** BST最大值结点*/
BTNode *bstMax(BTNode *root)
{if (!root->right)return root;return bstMax(root->right);
}

6）二叉树结点数目和高度

/*** 二叉树结点数目*/
int btSize(BTNode *root)
{if (!root) return 0;return btSize(root->left) + btSize(root->right) + 1;
}/*** 二叉树高度*/
int btHeight(BTNode *root)
{if (!root) return 0;int leftHeight = btHeight(root->left);int rightHeight = btHeight(root->right);int maxHeight = leftHeight > rightHeight ? leftHeight+1 : rightHeight+1;return maxHeight;
}

3 二叉树遍历

递归遍历-先序、中序、后序、层序

二叉树遍历的递归实现比较简单，直接给出代码。这里值得一提的是层序遍历，先是计算了二叉树的高度，然后调用的辅助函数依次遍历每一层的结点，这种方式比较容易理解，虽然在时间复杂度上会高一些。

/*** 二叉树先序遍历*/
void preOrder(BTNode *root)
{if (!root) return;printf("%d ", root->value);preOrder(root->left);preOrder(root->right);
}/*** 二叉树中序遍历*/
void inOrder(BTNode *root)
{if (!root) return;inOrder(root->left);printf("%d ", root->value);inOrder(root->right);
}/*** 二叉树后序遍历*/
void postOrder(BTNode *root)
{if (!root) return;postOrder(root->left);postOrder(root->right);printf("%d ", root->value);
}/*** 二叉树层序遍历*/
void levelOrder(BTNode *root)
{int btHeight = height(root);    int level;for (level = 1; level <= btHeight; level++) {levelOrderInLevel(root, level);}
}/*** 二叉树层序遍历辅助函数-打印第level层的结点*/
void levelOrderInLevel(BTNode *root, int level)
{if (!root) return;if (level == 1) {printf("%d ", root->value);return;}levelOrderInLevel(root->left, level-1);levelOrderInLevel(root->right, level-1);
}

非递归遍历-先序、中序、后序、层序

非递归遍历里面先序遍历最简单，使用一个栈来保存结点，先访问根结点，然后将右孩子和左孩子依次压栈，然后循环这个过程。中序遍历稍微复杂一点，需要先遍历完左子树，然后才是根结点，最后才是右子树。
后序遍历使用一个栈的方法postOrderIter()会有点绕，也易错。所以在面试时推荐用两个栈的版本postOrderIterWith2Stack()，容易理解，也比较好写。
层序遍历用了队列来辅助存储结点，还算简单。

这里我另外实现了一个队列 BTNodeQueue 和栈 BTNodeStack，用于二叉树非递归遍历。

/*********************/
/** 二叉树遍历-非递归 **/
/*********************/
/*** 先序遍历-非递归*/
void preOrderIter(BTNode *root)
{if (!root) return;int size = btSize(root);BTNodeStack *stack = stackNew(size);push(stack, root);while (!IS_EMPTY(stack)) {BTNode *node = pop(stack);printf("%d ", node->value);if (node->right)push(stack, node->right);if (node->left)push(stack, node->left);}free(stack);
}/*** 中序遍历-非递归*/
void inOrderIter(BTNode *root)
{if (!root) return;BTNodeStack *stack = stackNew(btSize(root));BTNode *current = root;while (current || !IS_EMPTY(stack)) {if (current) {push(stack, current);current = current->left;} else {BTNode *node = pop(stack);printf("%d ", node->value);current = node->right;}}free(stack);
}/*** 后续遍历-使用一个栈非递归*/
void postOrderIter(BTNode *root)
{BTNodeStack *stack = stackNew(btSize(root));BTNode *current = root;do { // 移动至最左边结点while (current) { // 将该结点右孩子和自己入栈if (current->right) push(stack, current->right); push(stack, current); // 往左子树遍历current = current->left; } current = pop(stack); if (current->right && peek(stack) == current->right) { pop(stack);push(stack, current);current = current->right;} else { printf("%d ", current->value); current = NULL; } } while (!IS_EMPTY(stack));
}/*** 后续遍历-使用两个栈，更好理解一点。*/
void postOrderIterWith2Stack(BTNode *root)
{if (!root) return;BTNodeStack *stack = stackNew(btSize(root));BTNodeStack *output = stackNew(btSize(root));push(stack, root);BTNode *node;while (!IS_EMPTY(stack)) {node = pop(stack);push(output, node);if (node->left)push(stack, node->left);if (node->right)push(stack, node->right);}while (!IS_EMPTY(output)) {node = pop(output);printf("%d ", node->value);}
}/*** 层序遍历-非递归*/
void levelOrderIter(BTNode *root)
{if (!root) return;BTNodeQueue *queue = queueNew(btSize(root));enqueue(queue, root);while (1) {int nodeCount = QUEUE_SIZE(queue);if (nodeCount == 0)break;
btHeightwhile (nodeCount > 0) {BTNode *node = dequeue(queue);printf("%d ", node->value);if (node->left)enqueue(queue, node->left);if (node->right)enqueue(queue, node->right);nodeCount--;}printf("\n");}
}

参考资料

http://www.techiedelight.com/insertion-in-bst/
http://www.techiedelight.com/search-given-key-in-bst/
http://www.techiedelight.com/deletion-from-bst/
https://www.geeksforgeeks.org/print-level-order-traversal-line-line/
https://www.geeksforgeeks.org/iterative-postorder-traversal-using-stack/

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