CINTA拉格朗日定理

2024-05-13 20:02:42

CINTA作业六拉格朗日定理

一、设G是群，H是G的子群。任取g₁,g₂∈G,则g₁H=g₂H当且仅当g₁^-1g₂∈H。

证明充分性：

g₁H=g₂H
g₁^-1g₁H=g₁^-1g₂H
H=g₁^-1g₂H
根据所谓吸收性可知，g₁^-1g₂∈H，因此充分性得证。

证明必要性:

若 g₁^-1g₂∈H
有
g₁^-1g₂H=eH
g₁g₁^-1g₂H=g₁eH
g₂H=g₁H
必要性得证，题目所述成立。

二、如果G是群，H是群G的子群，且[G:H]=2,请证明对任意的g∈G，gH=Hg。

证明：

由题知子群H将群G划分为两个陪集aH和bH (a,b∈G,a∈H，b∈G-H)
对于g，分为两种情况
i) g ∈ aH，则 gH=Hg 显然成立
ii) g∈ bH，则 gH!=H，Hg!=H,G中除H外只有bH这一划分
gH=bH,Hg=bH,因而 gH=Hg
即对于任意的g属于G，gH=Hg 。

三、如果群H是群G的真子群，即存在g∈G但是g ！∈H. 请证明 |H|≤|G|/2。

证明：

H≤G，H的所有陪集将划分G
因为 H<G, 所以 [G : H]>1,也即 [G: H]≥2；
依拉格朗日定理，| G | / | H | = [ G : H ]
因而 | G | / | H | ≥ 2
即 |H|≤|G|/2

四、设G是阶为pq的群，其中p和q为素数。请证明G的任意真子群是循环群。

证明：

H 为 G 真子群
| G | = | H | [ G : H ]
pq = a * b
a、b必然为素数
H为素数阶群，而素数阶群必然为循环群
所以pq阶群G的任意真子群是循环群。

五、使用群论的方法重新证明费尔马小定理和欧拉定理。

证明费尔马小定理：

拉格朗日定理推论：G是有限群，对任意g∈G，g的阶必整除群G的阶，即ord(g) | | G |.
此处引用群Z_p^*={1 ,2 , …,p-1 }
其任意a∈Z_p^* ，a^k≡ 1 (mod p) ,有 k | |Z_p^*| 即 k | (p-1)
所以有 a^p-1≡a^k≡ 1 (mod p)
在模p下由a∈{1 ,2 , …,p-1 }推及至所有不被p整除的整数a。
因而费尔马小定理成立。

证明欧拉定理：

此处引用群G=Z_n^*={a∈[1,…n-1] : gcd(a,n)=1}
|G|=Φ(n)
任意a∈G，其阶为k ：a^k≡ 1 (mod n)
由拉格朗日推论知 k | Φ(n)
因而 a^Φ(n)≡ a^k≡ 1 (mod n)
因而欧拉定理成立。

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