微分方程求解Matlab详解

在matlab求解微分方程有很多中，ode45是最常见的，当然，ode45求解有一定条件，就是需要把高阶微分方程转化为1阶微分方程。即使用降阶法。降阶法原理就是引入中间变量，然后实现降阶。例如：F(t,y,y′,y′′)=0F(t,y,y^{'},y^{''})=0F(t,y,y′,y′′)=0 令x1=yx_1=yx1=y, x2=y′x_2=y^{'}x2=y′,那么就可以将原来的二阶微分方程降阶为两个一阶微分方程。
dx1dt=x2dx2dt=G(t,x1,x2)\begin{matrix} \frac{dx_1}{dt}=x_2 \\ \frac{dx_2}{dt}=G(t,x_1,x_2) \end{matrix} dtdx1=x2dtdx2=G(t,x1,x2)
高阶微分方程组同理！！！

例子

这里以一个简单的例子演示ode45，以及包括之后使用的均为这个例子：
y′−2t=0y^{'}-2t = 0y′−2t=0
并且指定时间区间 [0,5][0,5][0,5]和初始条件 y0=0y_{0} = 0y0=0。

ODE45求解

使用匿名函数的方式

clc;clear all;
tspan = [0 5];
y0 = 0;figure(1)
[t,y] = ode45(@(t,y) 2*t, tspan, y0);
plot(t,y,'-o')

使用.m文件的方式

function dy = Fcn(t,y)%FCN dy=2*t;
end

clc;clear all;
tspan = [0 5];
y0 = 0;figure(2)
[t1,y2] = ode45(@Fcn, tspan, y0);
plot(t1,y2,'-o')

隐式微分方程求解

ODE45使用最困难的一步就是微分方程的降阶，对于一个含有最高阶耦合项的微分方程来说，根本无法手动将其化简为一阶微分方程，例如：
ty′′3+y′y′′+y=0ty^{''3}+y^{'}y^{''}+y = 0ty′′3+y′y′′+y=0
那对于这种该如何求解呢？

方法1-使用solve()求解高阶表达式

以上面的例子为例，将F(t,y,y′)=0F(t,y,y^{'})=0F(t,y,y′)=0看做是y′y^{'}y′的方程，利用solve()函数求解出y′y^{'}y′的表达式。这种方法是省去了手动的降阶，而使用计算机代替我们计算，我将这个封装了一个函数，可以通用，源码和参考在这里；

clc;clear all;
syms dy t y
eq = dy-2*t;dy = solve(eq,dy) matlabFunction(dy,'File','Fcn','Vars',[t,y]);tspan = [0 5];
y0 = 0;figure(1)[t,y] = ode45(@Fcn, tspan, y0);plot(t,y,'-o')

方法2-使用求解高阶变量的数值解，再使用ode45

然而，对于上述的方法，不是所有的微分方程都能算出最高阶的解析解。那么我们就么有办法了吗？观察ode45所传入的函数句柄，例如F(t,y,y′)=0F(t,y,y^{'})=0F(t,y,y′)=0，输入是t,y，输出是y′y^{'}y′,也就是说，我们要通过变量的低阶值和时间t求解变量的最高阶的值，因此，对于任意复杂的F(t,y,y′)=0F(t,y,y^{'})=0F(t,y,y′)=0或者是高阶微分方程组，我们在函数句柄，利用fsolve求解出最高阶的值，将其返回即可。

function dy = Fcn(t,y)
fun = @(dy)dy-2*t;
options=optimset('display','off');
dy = fsolve(fun,0,options) ;

clc;clear all;
tspan = [0 5];
y0 = 0;figure(2)
[t1,y2] = ode45(@Fcn, tspan, y0);
plot(t1,y2,'-o')

方法3-使用ode15i

matlab在后续版本提供了ode15i，其求解思路类似上面方法2。具体使用：

function fcn = Fcn(t,y,dy)
%WEISSINGER  Evaluate the residual of the Weissinger implicit ODE
%
%   See also ODE15I.
%   Jacek Kierzenka and Lawrence F. Shampine
%   Copyright 1984-2014 The MathWorks, Inc.fcn = dy - t.*2.0;

clc;clear all;
t0 = 0;
tspan = [t0 5];
y0 = 0;
yp0 =1;% 计算一致的初始条件
% ode15i 求解器需要一致的初始条件，即提供给求解器的初始条件必须满足
% 这个就是需要满足微分方程
[y0,dy0] = decic(@Fcn,t0,y0,1,yp0,0);
[t,y] = ode15i(@Fcn, tspan, y0,dy0);
figure(1)
plot(t,y,'-o')

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