高等数学（第七版）同济大学习题7-2 个人解答

高等数学（第七版）同济大学习题7-2

1.求下列微分方程的通解：\begin{aligned}&1. \ 求下列微分方程的通解：&\end{aligned}1. 求下列微分方程的通解：

(1)xy′−ylny=0； (2)3x2+5x−5y′=0；(3)1−x2y′=1−y2； (4)y′−xy′=a(y2+y′)；(5)sec2xtanydx+sec2ytanxdy=0； (6)dydx=10x+y；(7)(ex+y−ex)dx+(ex+y+ey)dy=0； (8)cosxisinydx+sinxcosydy=0；(9)(y+1)2dydx+x3=0； (10)ydx+(x2−4x)dy=0.\begin{aligned} &\ \ (1)\ \ xy'-yln\ y=0；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\ \ 3x^2+5x-5y'=0；\\\\ &\ \ (3)\ \ \sqrt{1-x^2}y'=\sqrt{1-y^2}；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)\ \ y'-xy'=a(y^2+y')；\\\\ &\ \ (5)\ \ sec^2\ xtan\ ydx+sec^2\ ytan\ xdy=0；\ (6)\ \ \frac{dy}{dx}=10^{x+y}；\\\\ &\ \ (7)\ \ (e^{x+y}-e^x)dx+(e^{x+y}+e^y)dy=0；\ \ (8)\ \ cos\ xisin\ ydx+sin\ xcos\ ydy=0；\\\\ &\ \ (9)\ \ (y+1)^2\frac{dy}{dx}+x^3=0；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (10)\ \ ydx+(x^2-4x)dy=0. & \end{aligned} (1) xy′−yln y=0； (2) 3x2+5x−5y′=0； (3) 1−x2y′=1−y2； (4) y′−xy′=a(y2+y′)； (5) sec2 xtan ydx+sec2 ytan xdy=0； (6) dxdy=10x+y； (7) (ex+y−ex)dx+(ex+y+ey)dy=0； (8) cos xisin ydx+sin xcos ydy=0； (9) (y+1)2dxdy+x3=0； (10) ydx+(x2−4x)dy=0.

解：

(1)原方程为xdydx−ylny=0，分离变量得dyylny=dxx，两端积分，得ln∣lny∣=ln∣x∣+lnC1=ln∣C1x∣(C1>0)，即lny=±C1x，通解为lny=Cx，y=eCx.(2)原方程为5y′=3x2+5x，两端积分，得5y=x3+52x2+C1，通解为y=15x3+12x2+C(C=C15)(3)原方程为1−x2dydx=1−y2，分离变量得dy1−y2=dx1−x2，两端积分，得arcsiny=arcsinx+C，为原方程的通解。(4)原方程为(1−x−a)dydx=ay2，分离变量得dyy2=a1−x−adx，两端积分，得−1y=−aln∣1−x−a∣−C，即y=1aln∣1−x−a∣+C是原方程的通解.(5)原方程分离变量得sec2ytanydy=−sec2xtanxdx，两端积分，得ln∣tany∣=−ln∣tanx∣+lnC1，ln∣tany⋅tanx∣=lnC1，即tany⋅tanx=±C1，所以原方程的通解为tany⋅tanx+C.(6)原方程分离变量得10−ydy=10xdx，两端积分，得−10−yln10=10xln10+C1，10x+10−y=C(C=−C1ln10).(7)原方程为ex(ey−1)dx+ey(ex+1)dy=0，分离变量得eyey−1dy=−exex+1dx，两端积分，得ln∣ey−1∣=−ln(ex+1)+lnC1，ln∣(ex+1)(ey−1)∣=lnC1，即(ex+1)(ey−1)=±C1，所以原方程的通解为(ex+1)(ey−1)=C.(8)原方程分离变量得cosysinydy=−cosxsinxdx，两端积分，得ln∣siny∣=−ln∣sinx∣+lnC1，即ln∣sinysinx∣=lnC1,或sinysinx=±C1，所以原方程的通解为sinysinx=C.(9)原方程分离变量得(y+1)2dy=−x3dx，两端积分，得13(y+1)3=−14x4+C1，所以原方程的通解为3x4+4(y+1)3=C(C=12C1)(10)原方程分离变量得dyy=dx4x−x2，两端积分，得ln∣y∣=∫dx(4−x)x=14∫(14−x+1x)dx=14(ln∣x∣−ln∣4−x∣)+lnC1=14ln∣x4−x∣+lnC1，即ln∣y4(4−x)∣=ln∣4C1x∣，或y4(4−x)=±4C1x，所以原方程的通解为y4(4−x)=Cx.\begin{aligned} &\ \ (1)\ 原方程为x\frac{dy}{dx}-yln\ y=0，分离变量得\frac{dy}{yln\ y}=\frac{dx}{x}，两端积分，得ln\ |ln\ y|=ln\ |x|+ln\ C_1=ln\ |C_1x|\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ (C_1 \gt 0)，即ln\ y=\pm C_1x，通解为ln\ y=Cx，y=e^{Cx}.\\\\ &\ \ (2)\ 原方程为5y'=3x^2+5x，两端积分，得5y=x^3+\frac{5}{2}x^2+C_1，通解为y=\frac{1}{5}x^3+\frac{1}{2}x^2+C\ \left(C=\frac{C_1}{5}\right)\\\\ &\ \ (3)\ 原方程为\sqrt{1-x^2}\frac{dy}{dx}=\sqrt{1-y^2}，分离变量得\frac{dy}{\sqrt{1-y^2}}=\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}，两端积分，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 得arcsin\ y=arcsin\ x+C，为原方程的通解。\\\\ &\ \ (4)\ 原方程为(1-x-a)\frac{dy}{dx}=ay^2，分离变量得\frac{dy}{y^2}=\frac{a}{1-x-a}dx，两端积分，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 得-\frac{1}{y}=-aln\ |1-x-a|-C，即y=\frac{1}{aln\ |1-x-a|+C}是原方程的通解.\\\\ &\ \ (5)\ 原方程分离变量得\frac{sec^2\ y}{tan\ y}dy=-\frac{sec^2\ x}{tan\ x}dx，两端积分，得ln\ |tan\ y|=-ln\ |tan\ x|+ln\ C_1，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ ln\ |tan\ y \cdot tan\ x|=ln\ C_1，即tan\ y\cdot tan\ x=\pm C_1，所以原方程的通解为tan\ y\cdot tan\ x+C.\\\\ &\ \ (6)\ 原方程分离变量得10^{-y}dy=10^xdx，两端积分，得-\frac{10^{-y}}{ln\ 10}=\frac{10^x}{ln\ 10}+C_1，10^x+10^{-y}=C\ (C=-C_1ln\ 10).\\\\ &\ \ (7)\ 原方程为e^x(e^y-1)dx+e^y(e^x+1)dy=0，分离变量得\frac{e^y}{e^y-1}dy=-\frac{e^x}{e^x+1}dx，两端积分，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 得ln\ |e^y-1|=-ln(e^x+1)+ln\ C_1，ln\ |(e^x+1)(e^y-1)|=ln\ C_1，即(e^x+1)(e^y-1)=\pm C_1，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 所以原方程的通解为(e^x+1)(e^y-1)=C.\\\\ &\ \ (8)\ 原方程分离变量得\frac{cos\ y}{sin\ y}dy=-\frac{cos\ x}{sin\ x}dx，两端积分，得ln\ |sin\ y|=-ln\ |sin\ x|+ln\ C_1，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 即ln\ |sin\ ysin\ x|=ln\ C_1,或sin\ ysin\ x=\pm C_1，所以原方程的通解为sin\ ysin\ x=C.\\\\ &\ \ (9)\ 原方程分离变量得(y+1)^2dy=-x^3dx，两端积分，得\frac{1}{3}(y+1)^3=-\frac{1}{4}x^ 4+C_1，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 所以原方程的通解为3x^4+4(y+1)^3=C\ (C=12C_1)\\\\ &\ \ (10)\ 原方程分离变量得\frac{dy}{y}=\frac{dx}{4x-x^2}，两端积分，得ln\ |y|=\int \frac{dx}{(4-x)x}=\frac{1}{4}\int \left(\frac{1}{4-x}+\frac{1}{x}\right)dx=\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{1}{4}(ln\ |x|-ln\ |4-x|)+ln\ C_1=\frac{1}{4}ln\ \left|\frac{x}{4-x}\right|+ln\ C_1，即ln\ |y^4(4-x)|=ln\ |4C_1x|，或y^4(4-x)=\pm 4C_1x，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 所以原方程的通解为y^4(4-x)=Cx. & \end{aligned} (1) 原方程为xdxdy−yln y=0，分离变量得yln ydy=xdx，两端积分，得ln ∣ln y∣=ln ∣x∣+ln C1=ln ∣C1x∣ (C1>0)，即ln y=±C1x，通解为ln y=Cx，y=eCx. (2) 原方程为5y′=3x2+5x，两端积分，得5y=x3+25x2+C1，通解为y=51x3+21x2+C (C=5C1) (3) 原方程为1−x2dxdy=1−y2，分离变量得1−y2dy=1−x2dx，两端积分，得arcsin y=arcsin x+C，为原方程的通解。 (4) 原方程为(1−x−a)dxdy=ay2，分离变量得y2dy=1−x−aadx，两端积分，得−y1=−aln ∣1−x−a∣−C，即y=aln ∣1−x−a∣+C1是原方程的通解. (5) 原方程分离变量得tan ysec2 ydy=−tan xsec2 xdx，两端积分，得ln ∣tan y∣=−ln ∣tan x∣+ln C1， ln ∣tan y⋅tan x∣=ln C1，即tan y⋅tan x=±C1，所以原方程的通解为tan y⋅tan x+C. (6) 原方程分离变量得10−ydy=10xdx，两端积分，得−ln 1010−y=ln 1010x+C1，10x+10−y=C (C=−C1ln 10). (7) 原方程为ex(ey−1)dx+ey(ex+1)dy=0，分离变量得ey−1eydy=−ex+1exdx，两端积分，得ln ∣ey−1∣=−ln(ex+1)+ln C1，ln ∣(ex+1)(ey−1)∣=ln C1，即(ex+1)(ey−1)=±C1，所以原方程的通解为(ex+1)(ey−1)=C. (8) 原方程分离变量得sin ycos ydy=−sin xcos xdx，两端积分，得ln ∣sin y∣=−ln ∣sin x∣+ln C1，即ln ∣sin ysin x∣=ln C1,或sin ysin x=±C1，所以原方程的通解为sin ysin x=C. (9) 原方程分离变量得(y+1)2dy=−x3dx，两端积分，得31(y+1)3=−41x4+C1，所以原方程的通解为3x4+4(y+1)3=C (C=12C1) (10) 原方程分离变量得ydy=4x−x2dx，两端积分，得ln ∣y∣=∫(4−x)xdx=41∫(4−x1+x1)dx= 41(ln ∣x∣−ln ∣4−x∣)+ln C1=41ln ∣∣4−xx∣∣+ln C1，即ln ∣y4(4−x)∣=ln ∣4C1x∣，或y4(4−x)=±4C1x，所以原方程的通解为y4(4−x)=Cx.

2.求下列微分方程满足所给初值条件的特解：\begin{aligned}&2. \ 求下列微分方程满足所给初值条件的特解：&\end{aligned}2. 求下列微分方程满足所给初值条件的特解：

(1)y′=e2x−y，y∣x=0=0；(2)cosxsinydy=cosysinxdx，y∣x=0=π4；(3)y′sinx=ylny，y∣x=π2=e；(4)cosydx+(1+e−x)sinydy=0，y∣x=0=π4；(5)xdy+2ydx=0，y∣x=2=1.\begin{aligned} &\ \ (1)\ \ y'=e^{2x-y}，y|_{x=0}=0；\\\\ &\ \ (2)\ \ cos\ xsin\ ydy=cos\ ysin\ xdx，y|_{x=0}=\frac{\pi}{4}；\\\\ &\ \ (3)\ \ y'sin\ x=yln\ y，y|_{x=\frac{\pi}{2}}=e；\\\\ &\ \ (4)\ \ cos\ ydx+(1+e^{-x})sin\ ydy=0，y|_{x=0}=\frac{\pi}{4}；\\\\ &\ \ (5)\ \ xdy+2ydx=0，y|_{x=2}=1. & \end{aligned} (1) y′=e2x−y，y∣x=0=0； (2) cos xsin ydy=cos ysin xdx，y∣x=0=4π； (3) y′sin x=yln y，y∣x=2π=e； (4) cos ydx+(1+e−x)sin ydy=0，y∣x=0=4π； (5) xdy+2ydx=0，y∣x=2=1.

解：

(1)原方程分离变量得eydy=e2xdx，两端积分，得ey=12e2x+C，由y∣x=0=0，得1=e0=12e0+C，C=12，即ey=12(e2x+1)，所求特解为y=lne2x+12.(2)原方程分离变量得tanydy=tanxdx，两端积分，得−ln∣cosy∣=−ln∣cosx∣−lnC1，即cosy=Ccosx，代入初值条件，x=0，y=π4，得C=22，所求特解为2cosy=cosx.(3)原方程分离变量得dyylny=dxsinx，两端积分，得ln∣lny∣=ln∣tanx2∣+lnC1，即lny=Ctanx2，代入初值条件，x=π2，y=e，得C=1，所求特解为y=etanx2(4)原方程分离变量得exex+1dx=−tanydy，两端积分，得ln(ex+1)=ln∣cosy∣+lnC1，即ex+1=Ccosy，代入初值条件，x=0，y=π4，得C=22，所以，ex+1=22cosy，所求特解为(ex+1)secy=22.(5)原方程分离变量得dyy=−2dxx，两端积分，得ln∣y∣=−2ln∣x∣+lnC1=lnx−2+lnC1，即x2y=C，代入初值条件，x=2，y=1，得C=4，所求特解为x2y=4.\begin{aligned} &\ \ (1)\ 原方程分离变量得e^ydy=e^{2x}dx，两端积分，得e^y=\frac{1}{2}e^{2x}+C，由y|_{x=0}=0，得1=e^0=\frac{1}{2}e^0+C，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ C=\frac{1}{2}，即e^y=\frac{1}{2}(e^{2x}+1)，所求特解为y=ln\ \frac{e^{2x}+1}{2}.\\\\ &\ \ (2)\ 原方程分离变量得tan\ ydy=tan\ xdx，两端积分，得-ln\ |cos\ y|=-ln\ |cos\ x|-ln\ C_1，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 即cos\ y=Ccos\ x，代入初值条件，x=0，y=\frac{\pi}{4}，得C=\frac{\sqrt{2}}{2}，所求特解为\sqrt{2}cos\ y=cos\ x.\\\\ &\ \ (3)\ 原方程分离变量得\frac{dy}{yln\ y}=\frac{dx}{sin\ x}，两端积分，得ln\ |ln\ y|=ln\ \left|tan\ \frac{x}{2}\right|+ln\ C_1，即ln\ y=Ctan\ \frac{x}{2}，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 代入初值条件，x=\frac{\pi}{2}，y=e，得C=1，所求特解为y=e^{tan\ \frac{x}{2}}\\\\ &\ \ (4)\ 原方程分离变量得\frac{e^x}{e^x+1}dx=-tan\ ydy，两端积分，得ln(e^x+1)=ln\ |cos\ y|+ln\ C_1，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 即e^x+1=Ccos\ y，代入初值条件，x=0，y=\frac{\pi}{4}，得C=2\sqrt{2}，所以，e^x+1=2\sqrt{2}cos\ y，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 所求特解为(e^x+1)sec\ y=2\sqrt{2}.\\\\ &\ \ (5)\ 原方程分离变量得\frac{dy}{y}=-2\frac{dx}{x}，两端积分，得ln\ |y|=-2ln\ |x|+ln\ C_1=ln\ x^{-2}+ln\ C_1，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 即x^2y=C，代入初值条件，x=2，y=1，得C=4，所求特解为x^2y=4. & \end{aligned} (1) 原方程分离变量得eydy=e2xdx，两端积分，得ey=21e2x+C，由y∣x=0=0，得1=e0=21e0+C， C=21，即ey=21(e2x+1)，所求特解为y=ln 2e2x+1. (2) 原方程分离变量得tan ydy=tan xdx，两端积分，得−ln ∣cos y∣=−ln ∣cos x∣−ln C1，即cos y=Ccos x，代入初值条件，x=0，y=4π，得C=22，所求特解为2cos y=cos x. (3) 原方程分离变量得yln ydy=sin xdx，两端积分，得ln ∣ln y∣=ln ∣∣tan 2x∣∣+ln C1，即ln y=Ctan 2x，代入初值条件，x=2π，y=e，得C=1，所求特解为y=etan 2x (4) 原方程分离变量得ex+1exdx=−tan ydy，两端积分，得ln(ex+1)=ln ∣cos y∣+ln C1，即ex+1=Ccos y，代入初值条件，x=0，y=4π，得C=22，所以，ex+1=22cos y，所求特解为(ex+1)sec y=22. (5) 原方程分离变量得ydy=−2xdx，两端积分，得ln ∣y∣=−2ln ∣x∣+ln C1=ln x−2+ln C1，即x2y=C，代入初值条件，x=2，y=1，得C=4，所求特解为x2y=4.

3.有一盛满了水的圆锥形漏斗，高为10cm，顶角为60∘，漏斗下面有面积为0.5cm2的孔，求水面高度变化的规律及水流完所需的时间.\begin{aligned}&3. \ 有一盛满了水的圆锥形漏斗，高为10cm，顶角为60^{\circ}，漏斗下面有面积为0.5cm^2的孔，求水面高度\\\\&\ \ \ \ 变化的规律及水流完所需的时间.&\end{aligned}3. 有一盛满了水的圆锥形漏斗，高为10cm，顶角为60∘，漏斗下面有面积为0.5cm2的孔，求水面高度变化的规律及水流完所需的时间.

解：

水从孔口流出的流量Q是单位时间内流出孔口的水的体积，即Q=dVdt，又从力学知道，Q=0.62S2gh，其中0.62为流量系数，S为孔口截面积，g为重力加速度,h为水面到孔口的高度，有dVdt=0.62S2gh，即dV=0.62S2ghdt（1），设在时刻t，水面高度为h=h(t)，则x=htan30∘=33h，于是在时间间隔[t,t+dt]内漏斗流出的水的体积，即水体积的改变量dV=−πx2dh=−π3h2dh（2），由(1)，(2)得微分方程0.62S2ghdt=−π3h2dh，并有初值条件ht=0=10.由微分方程分离变量得dt=−π3×0.62S2gh52dh，两端积分，得t=−2π15×0.62S2gh52+C，代入初值条件，t=0，h=10，得C=2π15×0.62S2g1052，此时，t=2π15×0.62S2g(1052−h52).代入S=0.5(cm2)，g=980(cm/s2)，得t=−0.0305h52+9.64，代入h=0，得水流完所需时间t≈10(s).\begin{aligned} &\ \ 水从孔口流出的流量Q是单位时间内流出孔口的水的体积，即Q=\frac{dV}{dt}，又从力学知道，Q=0.62S\sqrt{2gh}，\\\\ &\ \ 其中0.62为流量系数，S为孔口截面积，g为重力加速度,h为水面到孔口的高度，有\frac{dV}{dt}=0.62S\sqrt{2gh}，\\\\ &\ \ 即dV=0.62S\sqrt{2gh}dt（1），设在时刻t，水面高度为h=h(t)，则x=htan\ 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}h，于是在时间\\\\ &\ \ 间隔[t, \ t+dt]内漏斗流出的水的体积，即水体积的改变量dV=-\pi x^2dh=-\frac{\pi}{3}h^2dh（2），由(1)，(2)得\\\\ &\ \ 微分方程0.62S\sqrt{2gh}dt=-\frac{\pi}{3}h^2dh，并有初值条件h_{t=0}=10.由微分方程分离变量得dt=-\frac{\pi}{3\times 0.62S\sqrt{2g}}h^{\frac{5}{2}}dh，\\\\ &\ \ 两端积分，得t=-\frac{2\pi}{15\times 0.62S\sqrt{2g}}h^{\frac{5}{2}}+C，代入初值条件，t=0，h=10，得C=\frac{2\pi}{15\times 0.62S\sqrt{2g}}10^{\frac{5}{2}}，\\\\ &\ \ 此时，t=\frac{2\pi}{15\times 0.62S\sqrt{2g}}(10^{\frac{5}{2}}-h^{\frac{5}{2}}).代入S=0.5(cm^2)，g=980(cm/s^2)，得t=-0.0305h^{\frac{5}{2}}+9.64，代入h=0，\\\\ &\ \ 得水流完所需时间t \approx 10(s). & \end{aligned} 水从孔口流出的流量Q是单位时间内流出孔口的水的体积，即Q=dtdV，又从力学知道，Q=0.62S2gh，其中0.62为流量系数，S为孔口截面积，g为重力加速度,h为水面到孔口的高度，有dtdV=0.62S2gh，即dV=0.62S2ghdt（1），设在时刻t，水面高度为h=h(t)，则x=htan 30∘=33h，于是在时间间隔[t, t+dt]内漏斗流出的水的体积，即水体积的改变量dV=−πx2dh=−3πh2dh（2），由(1)，(2)得微分方程0.62S2ghdt=−3πh2dh，并有初值条件ht=0=10.由微分方程分离变量得dt=−3×0.62S2gπh25dh，两端积分，得t=−15×0.62S2g2πh25+C，代入初值条件，t=0，h=10，得C=15×0.62S2g2π1025，此时，t=15×0.62S2g2π(1025−h25).代入S=0.5(cm2)，g=980(cm/s2)，得t=−0.0305h25+9.64，代入h=0，得水流完所需时间t≈10(s).

4.质量为1g的质点受外力作用做直线运动，这外力和时间成正比，和质点运动的速度成反比。在t=10s时，速度等于50cm/s，外力为4g⋅cm/s2，问从运动开始经过了1min后的速度是多少？\begin{aligned}&4. \ 质量为1g的质点受外力作用做直线运动，这外力和时间成正比，和质点运动的速度成反比。\\\\&\ \ \ \ 在t=10s时，速度等于50cm/s，外力为4g\cdot cm/s^2，问从运动开始经过了1min后的速度是多少？&\end{aligned}4. 质量为1g的质点受外力作用做直线运动，这外力和时间成正比，和质点运动的速度成反比。在t=10s时，速度等于50cm/s，外力为4g⋅cm/s2，问从运动开始经过了1min后的速度是多少？

解：

设在时刻t，质点运动速度为v=v(t)，根据已知条件，有f=mv′=ktv，由m=1，t=10，v=50，f=4，得k=f⋅vt=20，有微分方程v′=20tv，分离变量得vdv=20tdt，两端积分，得v2=20t2+C，代入初值条件，t=10，v=50，得C=500，得特解为v=20t2+500，当t=60(s)时，v=20×602+500=269.3(cm/s).\begin{aligned} &\ \ 设在时刻t，质点运动速度为v=v(t)，根据已知条件，有f=mv'=k\frac{t}{v}，由m=1，t=10，v=50，f=4，\\\\\ &\ \ 得k=\frac{f\cdot v}{t}=20，有微分方程v'=20\frac{t}{v}，分离变量得vdv=20tdt，两端积分，得v^2=20t^2+C，代入初值\\\\ &\ \ 条件，t=10，v=50，得C=500，得特解为v=\sqrt{20t^2+500}，当t=60(s)时，\\\\ &\ \ v=\sqrt{20\times 60^2+500}=269.3(cm/s). & \end{aligned} 设在时刻t，质点运动速度为v=v(t)，根据已知条件，有f=mv′=kvt，由m=1，t=10，v=50，f=4，得k=tf⋅v=20，有微分方程v′=20vt，分离变量得vdv=20tdt，两端积分，得v2=20t2+C，代入初值条件，t=10，v=50，得C=500，得特解为v=20t2+500，当t=60(s)时， v=20×602+500=269.3(cm/s).

5.镭的衰变有如下的规律：镭的衰变速度的与它的现存量R成正比。由经验材料得知，镭经过1600年后，只余原始量R0的一半，试求镭的现存量R与时间t的函数关系.\begin{aligned}&5. \ 镭的衰变有如下的规律：镭的衰变速度的与它的现存量R成正比。由经验材料得知，镭经过1600年后，\\\\&\ \ \ \ 只余原始量R_0的一半，试求镭的现存量R与时间t的函数关系.&\end{aligned}5. 镭的衰变有如下的规律：镭的衰变速度的与它的现存量R成正比。由经验材料得知，镭经过1600年后，只余原始量R0的一半，试求镭的现存量R与时间t的函数关系.

解：

设在时刻t，镭的存量为R=r(t)，根据已知条件，dRdt=−λR，即dRR=−λdt，两端积分，得lnR=−λt+lnC，即R=Ce−λt。因为t=0时，R=R0，所以C=R0，R=R0e−λt，将t=1600，R=12R0代入上式，得12=e−1600λ，即λ=ln21600，所以，R=R0e−ln21600t=R0e−0.000433t.\begin{aligned} &\ \ 设在时刻t，镭的存量为R=r(t)，根据已知条件，\frac{dR}{dt}=-\lambda R，即\frac{dR}{R}=-\lambda dt，两端积分，\\\\ &\ \ 得ln\ R=-\lambda t+ln\ C，即R=Ce^{-\lambda t}。因为t=0时，R=R_0，所以C=R_0，R=R_0e^{-\lambda t}，将t=1600，\\\\ &\ \ R=\frac{1}{2}R_0代入上式，得\frac{1}{2}=e^{-1600\lambda}，即\lambda=\frac{ln\ 2}{1600}，所以，R=R_0e^{-\frac{ln\ 2}{1600}t}=R_0e^{-0.000433t}. & \end{aligned} 设在时刻t，镭的存量为R=r(t)，根据已知条件，dtdR=−λR，即RdR=−λdt，两端积分，得ln R=−λt+ln C，即R=Ce−λt。因为t=0时，R=R0，所以C=R0，R=R0e−λt，将t=1600， R=21R0代入上式，得21=e−1600λ，即λ=1600ln 2，所以，R=R0e−1600ln 2t=R0e−0.000433t.

6.一曲线通过点(2,3)，它在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分，求这曲线方程.\begin{aligned}&6. \ 一曲线通过点(2, \ 3)，它在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分，求这曲线方程.&\end{aligned}6. 一曲线通过点(2, 3)，它在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分，求这曲线方程.

解：

设曲线方程为y=y(x)，切点为(x,y)，根据已知条件，切线在x轴与y轴上的截距分别为2x和2y，得切线斜率为y′=2y−00−2x=−yx，分离变量得dyy=−dxx，两端积分，得ln∣y∣=−ln∣x∣+lnC1，即xy=C，代入初值条件，x=2，y=3，得C=6，所以曲线方程为xy=6.\begin{aligned} &\ \ 设曲线方程为y=y(x)，切点为(x, \ y)，根据已知条件，切线在x轴与y轴上的截距分别为2x和2y，得切线\\\\ &\ \ 斜率为y'=\frac{2y-0}{0-2x}=-\frac{y}{x}，分离变量得\frac{dy}{y}=-\frac{dx}{x}，两端积分，得ln\ |y|=-ln\ |x|+ln\ C_1，即xy=C，\\\\ &\ \ 代入初值条件，x=2，y=3，得C=6，所以曲线方程为xy=6. & \end{aligned} 设曲线方程为y=y(x)，切点为(x, y)，根据已知条件，切线在x轴与y轴上的截距分别为2x和2y，得切线斜率为y′=0−2x2y−0=−xy，分离变量得ydy=−xdx，两端积分，得ln ∣y∣=−ln ∣x∣+ln C1，即xy=C，代入初值条件，x=2，y=3，得C=6，所以曲线方程为xy=6.

7.小船从河边点O处出发行驶向对岸（两岸为平行直线）。设船速为α，船行方向始终与河岸垂直，又设河宽为h，河中任一点处得水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比（比例系数为k）。求小船的航行路线.\begin{aligned}&7. \ 小船从河边点O处出发行驶向对岸（两岸为平行直线）。设船速为\alpha，船行方向始终与河岸垂直，又设\\\\&\ \ \ \ 河宽为h，河中任一点处得水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比（比例系数为k）。求小船的航行路线.&\end{aligned}7. 小船从河边点O处出发行驶向对岸（两岸为平行直线）。设船速为α，船行方向始终与河岸垂直，又设河宽为h，河中任一点处得水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比（比例系数为k）。求小船的航行路线.

解：

设小船的航行路线为C:{x=x(t)，y=y(t)，，则在时刻t，小船的实际航行速度为v(t)=(x′(t),y′(t))，其中x′(t)=ky(h−y)为水的流速，y′(t)=α为小船的实际速度，小船航行路线的切线方向就是小船的实际速度方向，有dydx=y′(t)x′(t)=αky(h−y)。分离变量得dx=kαy(h−y)dy，两端积分，得x=kα∫(hy−y2)dy=kα(h2y2−13y3)+C，因为小船出发于点(0,0)，代入初值条件，x=0，y=0，得C=0，所以小船航行的路线的方程为x=kα(h2y2−13y3)\begin{aligned} &\ \ 设小船的航行路线为C:\begin{cases}x=x(t)，\\\\y=y(t)，\end{cases}，则在时刻t，小船的实际航行速度为v(t)=(x'(t), \ y'(t))，\\\\ &\ \ 其中x'(t)=ky(h-y)为水的流速，y'(t)=\alpha为小船的实际速度，小船航行路线的切线方向就是小船的实际\\\\ &\ \ 速度方向，有\frac{dy}{dx}=\frac{y'(t)}{x'(t)}=\frac{\alpha}{ky(h-y)}。分离变量得dx=\frac{k}{\alpha}y(h-y)dy，两端积分，\\\\ &\ \ 得x=\frac{k}{\alpha}\int(hy-y^2)dy=\frac{k}{\alpha}\left(\frac{h}{2}y^2-\frac{1}{3}y^3\right)+C，因为小船出发于点(0, \ 0)，代入初值条件，x=0，y=0，\\\\ &\ \ 得C=0，所以小船航行的路线的方程为x=\frac{k}{\alpha}\left(\frac{h}{2}y^2-\frac{1}{3}y^3\right) & \end{aligned} 设小船的航行路线为C:⎩⎨⎧x=x(t)，y=y(t)，，则在时刻t，小船的实际航行速度为v(t)=(x′(t), y′(t))，其中x′(t)=ky(h−y)为水的流速，y′(t)=α为小船的实际速度，小船航行路线的切线方向就是小船的实际速度方向，有dxdy=x′(t)y′(t)=ky(h−y)α。分离变量得dx=αky(h−y)dy，两端积分，得x=αk∫(hy−y2)dy=αk(2hy2−31y3)+C，因为小船出发于点(0, 0)，代入初值条件，x=0，y=0，得C=0，所以小船航行的路线的方程为x=αk(2hy2−31y3)