泽尼克多项式

详细定义可查看维基百科介绍

下图为极坐标下的泽尼克多项式（归一化）

笛卡尔坐标下的泽尼克

数学底子薄，如有错误，请大佬指出。关于推到过程我只简单举例,。
注：下列推导过程未考虑上图表达式中前面的系数，因此下列表中多项式未在单位圆内归一化

根据笛卡尔到极坐标转换公式：
1）直接就能得到 Z1，Z2
ρsin(θ)=y，ρcos(θ)=x\rho sin(\theta)=y，\rho cos(\theta)=xρsin(θ)=y，ρcos(θ)=x

2）Z3有：
ρ2sin(2θ)=2ρ2sin(θ)cos(θ)=2ρsin(θ)∗ρcos(θ)=2xy\rho^2sin(2\theta)=2\rho^2sin(\theta)cos(\theta)=2\rho sin(\theta)*\rho cos(\theta)=2xyρ2sin(2θ)=2ρ2sin(θ)cos(θ)=2ρsin(θ)∗ρcos(θ)=2xy

3）Z4有：
2ρ2−1=2(ρ2sin2(θ)+ρ2cos2(θ))−1=2(x2+y2)−12\rho^2-1=2(\rho^2sin^2(\theta)+\rho^2cos^2(\theta))-1=2(x^2+y^2)-12ρ2−1=2(ρ2sin2(θ)+ρ2cos2(θ))−1=2(x2+y2)−1

4）Z5有：
ρ2cos(2θ)=ρ2cos2(θ)−ρ2sin2(θ)=x2−y2\rho^2cos(2\theta)=\rho^2cos^2(\theta)-\rho^2sin^2(\theta)=x^2-y^2ρ2cos(2θ)=ρ2cos2(θ)−ρ2sin2(θ)=x2−y2

其余项可根据原理自行推导（也可以假装相信我是对的），gj,hjg_j,h_jgj,hj是两个方向的偏导。

利用MATLAB将上述多项式在单位圆中绘制，结果如下图（右）所示

其他

检查了很多遍，绘制结果看起来也一样了，但是不敢保证完全没错，欢迎大家检查指正

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