SAR成像系列：【4】合成孔径雷达（SAR）距离历程分析

（1）SAR的距离历程-正侧视

合成孔径雷达（SAR）成像中，所有算法的基础是对距离历程（Range History）的分析。“合成孔径”从表面上看是合成了雷达阵列，从信号上看是获得多普勒变化，而多普勒的变化就是得益于距离历程的变化。正侧视SAR成像过程如下图所示。

雷达沿着箭头方向前进，在t1到t6慢时间内雷达与目标的距离R1-R6逐渐减小，方位多普勒为正；在t6到t11慢时间内雷达与目标的距离R6-R11逐渐增大，方位多普勒为负。方位频率变化如下图，这里t6在零位置。

虽然距离历程的变化是获得方位高分辨的必要条件，然而它会导致回避数据在产生扭曲，即距离徙动（RCM）。大的距离徙动必然导致同一目标的回波信号在不同的慢时间处于不同的距离分辨单元，直接对方位信号匹配滤波必然导致目标散焦，如下图。

因此，对距离徙动进行分析和必要补偿是获得高质量SAR图像的基础条件。如第一幅图中所示，一个简单的目标与雷达的距离历程双曲线模型为：

$R_{t}^{2}=R_{0}^{2}+(V_{a}t)^{2}$

R0为目标到雷达的最短距离，也称为垂直直线距离；Va为雷达的方位速度；t为慢时间。

双曲线模型表达不利于成像算法设计，我们更希望得到关于回波相位的一阶、二阶、甚至更高阶的表达形式（多项式），以方便对回波相位的各节进行分析。因此对双曲线模型进行近似表达是成像必要的一环。

不同的成像平台、成像场景对双曲线的近似也各不相同，这就产生了成像算法的多样性。正侧视成像模式，对R在t=0处进行泰勒级数展开：

$R_{t}=\sqrt{R_{0}^{2}+(V_{a}t)^{2}}=R_{0}+\frac{V_{a}^{2}t^{2}}{2R_{0}}+...$

Rt的距离徙动变化主要反映在关于慢时间的二次项上，一般称之为距离弯曲。在星载和机载普通成像场景中，一般认为R0远大于 $V_{a}t$ ，在成像中一般仅保留前两项（精确成像中要求保留至少三项）。下图为低轨星载SAR精确Rt与泰勒二阶近似Rt的正负5s的变化情况，可以看到在正负2秒范围内，两者基本重合，完全满足成像的需求。

（2）SAR的距离历程-斜视

斜视条件下的距离历程如下图所示：

Rt的数学模型仍为:

$R_{t}^{2}=R_{0}^{2}+(V_{a}t)^{2}$

由于斜视成像，因此Rt的泰勒展开一般不在t=0处，而在孔径中心位置。泰勒表达式如下：

$R_{t}^{2}=R_{t_{c}}^{2}+\frac{V_{a}^{2}t_{c}}{R_{t_{c}}}(t-t_{c})+\frac{1}{2}\frac{V_{a}^{2}cos^{2}(\theta _{r})}{R_{t_{c}}}(t-t_{c})^2+... =R_{t_{c}}^{2}-V_{a}sin \theta _{r}(t-t_{c})+\frac{1}{2}\frac{V_{a}^{2}cos^{2}(\theta _{r})}{R_{t_{c}}}(t-t_{c})^2+...$

其中， $\theta _{r}$ 是波束中心的斜视角度（正侧视时为0°）。

可以看到，斜视情况下距离徙动变化包括关于慢时间的一次项和二次项。其中一次项一般称为距离走动，二次项称为距离弯曲。一次项与目标距离无关，二次项与目标距离有关。因此二次项的矫正必须考虑场景大小。

假设合成孔径时间为T，小斜视角时， $cos(\theta _{r})\approx 1$ ，零多普勒点位于孔径之内，距离徙动表示为：

$\Delta R=R_{t}(t_{c}+\frac{T}{2})-R_{0}=\frac{V_{a}^2}{2R_{0}} (t_{c}+\frac{T}{2})^{2}$

这时，距离徙动表现为距离弯曲。

大斜视角成像时，则斜视成像时间内距离徙动变化为：

$\Delta R=R_{t}(t_{c}+\frac{T}{2})-R_{t}(t_{c}-\frac{T}{2})=\frac{V_{a}^2}{R_{0}}Tt_{c}$

此时，距离徙动主要表现为距离走动。

（3）SAR的距离历程的二维特性

由SAR成像的距离历程中可以看到，目标的距离徙动与目标距雷达的最短距离R0有关。R0越小距离徙动越大。如下

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