一、矩阵相似

1.定义

2.特征值与特征向量

二、矩阵的约当标准形

1.行列式因子

为啥D2 = 1?
因为这三个2阶非零子式的最大公因子是1啊。。。。
宋老师真的是太好了，矩阵分析不多考几分简直对不起老师十点过还回答我这么蠢的问题。。。。

2.不变因子

由之前我们计算出来的n阶行列式因子得到

3.初级因子

而初级因子又由我们计算得到的不变因子中，将每个次数大于零的不变因式分解为互不相同的一次因式的方幂函的乘积，所有这些一次因式的方幂称为A(入)的初级因子。
不过这个不变因子有问题啊。。。不是一次因式吗

4.约当块

由矩阵A得到的初级因子为

这里的入1,入2,入3…可能是相同的，指数k1,k2,k3…也可能相同。而对于每一个初级因子（入-入i）^(ki)构成一个ki阶矩阵（约当块），形如：

5、约当标准形

而由这些约当块构成的分块对角矩阵，形如：

称为矩阵A的约当形矩阵，或A的约当标准形。

6.思考题

所有不变因子相乘得到Dn，也就是矩阵对应的特征多项式，而初级因子是由不变因子分解得到的，也就是说初级因子的乘积最后就是不变因子的乘积，也就是特征多项式。
于是得到了初级因子的形式后就可以得到每个初级因子对应的约当块，然后求得约当标准形。

三、约当标准形的相似矩阵

1.定义

每个n阶复数矩阵A都与一个约当标准形矩阵J相似。（由此可以推出：若A再相似于对角矩阵，等价于A的每一个初级因子全为一次因式）

除去约当块的排列顺序外，约当形矩阵 J 被矩阵A唯一确定。

1.例题（求约当标准形）

2.例题（求线性微分方程组）

四、多项式矩阵及史密斯标准形

1.多项式矩阵

其他的一些知识回顾：
多项式矩阵的初等变换

2.史密斯标准形

将一个多项式矩阵经过初等变换为对应的史密斯标准形可以直接得到对应的不变因子。

3.例题（求史密斯标准形）

4.由史密斯标准形求约当标准形

妈妈再也不用担心我的一堆因子算错了

5.例题（利用史密斯标准形求约当标准形）

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