二叉搜索树--基础篇

二叉搜索树Binary Search Tree（BSTs）又名二叉排序树，二叉查找树。而能够自平衡的叫平衡搜索树，包括AVL trees, 2-3 trees, 2-3-4 trees, B-trees, Red-Black Trees红黑树,skip lists跳跃表。

在二叉搜索树的基础上，又有最优二叉搜索树。

在此之前先说说三种遍历方式。

中序遍历首先遍历左子树，然后访问根结点，最后遍历右子树。在遍历左、右子树时，仍然先遍历左子树，再访问根结点，最后遍历右子树。即：
若二叉树为空则结束返回
否则：
（1）中序遍历左子树。
（2）访问根结点。
（3）中序遍历右子树。

中序遍历
注意的是：遍历左右子树时仍然采用中序遍历方法。
如右图所示二叉树
中序遍历结果：DBEAFC
中序遍历的时间复杂度为：O(n)。
如果一棵二叉排序树的节点值是数值，中序遍历的结果为升序排列的数组。可以利用该性质检测一棵树是否为二叉排序数。
已知前序遍历和后序遍历，不能确定唯一的中序遍历。

void BinTree::preOrder(Node *r)//递归实现先序遍历
{  if(r==NULL)  {  return ;  }  else  {  cout<<r->data<<" ";  preOrder(r->left);  preOrder(r->right);  }
}

void BinTree::InOrder(Node *r)//递归实现中序遍历
{  if(r==NULL)  {  return ;  }  else  {  InOrder(r->left);  cout<<r->data<<" ";  InOrder(r->right);  }
}
void BinTree::PostOrder(Node *r)//递归实现后序遍历
{  if(r==NULL)  {  return ;  }  else  {  PostOrder(r->left);  PostOrder(r->right);  cout<<r->data<<" ";  }
}

一、二叉搜索树的定义

二叉搜索树或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树：

每个结点都有一个作为搜索依据的关键码(key)，所有结点的关键码互不相同。

左子树（如果非空）上所有结点的关键码都小于根结点的关键码。

右子树（如果非空）上所有结点的关键码都大于根结点的关键码。

左子树和右子树也是二叉搜索树。（构建的二叉搜索树和输入节点的排序有关，排序不同，构造的二叉树也不同）

如果对一棵二叉搜索树进行中序遍历，可以按从小到大的顺序，将各结点关键码排列起来，所以也称二叉搜索树为二叉排序树。

二、查询操作

在二叉搜索树中，查询操作时很核心的一个操作，在插入节点的时候，需要查看改节点是否已经存在，如果存在那么插入操作失败。并且在删除节点而不调整二叉树时，使用的策略和步骤是和查询操作一样的。

查询步骤如下：

假设想要在二叉搜索树中搜索关键码为 x 的元素，搜索过程从根结点开始。

如果根指针（或者迭代的子树的根）为 NULL ，则搜索不成功；并报告该空节点的父亲节点，即最后停留在的叶子节点。

否则用给定值 x 与根结点的关键码进行比较：

若给定值等于根结点关键码，则搜索成功，返回搜索成功；并报告搜索到结点地址。

若给定值小于根结点的关键码，则继续递归搜索根结点的左子树；

否则。递归搜索根结点的右子树。

/********************************************************************
Method:      SearchBST
Description:
Access:      public
Returns:     int
Parameter:   T: the tree that will be searched, f:the father tree of thetree that will be searched       p：point to the elements that =key, or when result =0; point to the last leaf node
********************************************************************/
void SearchBST(BiTree T,int key,BiTree f,BiTree &p,int& result)
{result = 0;if(T == NULL){p=f;result = 0;}else if(key>T->data){SearchBST(T->rchild,key,T,p,result);}else if(key<T->data){SearchBST(T->lchild,key,T,p,result);}else if(key == T->data){p=T;result = 1;}
}

使用返回值的版本如下：

int SearchBST(BiTree T,int key,BiTree f,BiTree &p)
{int tmp1,tmp2;tmp1=tmp2=0;if(!T) {p=f;return 0;} //查找不成功else if(key==T->data) {p=T;return 1;} //查找成功else if(key<T->data) tmp1=SearchBST(T->lchild,key,T,p); //在左子树中继续查找else tmp2=SearchBST(T->rchild,key,T,p); //在右子树中继续查找if(tmp1||tmp2) return 1; //若在子树中查找成功，向上级返回1else return 0; //否则返回0*/
}

三、插入操作

每次结点的插入，都要先进行搜索操作，（搜索不成功；报告该空节点的父亲节点，最后停留在的叶子节点）。然后把新结点作为改叶结点的子节点插入。

int InsertBST(BiTree &T,int key)
{BiTree p,s;int result = 0;SearchBST(T,key,NULL,p,result);if(result == 0) //查找不成功，插入{s = new BiTNode;s->data=key;s->lchild=s->rchild=NULL;if(p == NULL) T=s; //被插结点*s为新的根结点else if(key<p->data) p->lchild=s; //被插结点*s为左孩子else p->rchild=s; //被插结点*s为右孩子return 1; //成功插入}else return 0; //树中已存在关键字为e的数据元素
}

四、删除操作

在二叉搜索树中删除一个结点时，必须将因删除结点而断开的二叉链表重新链接起来，同时确保二叉搜索树的性质不会失去。

为保证在删除后树的搜索性能不至于降低，还需要防止重新链接后树的高度增加。

删除叶结点，只需将其双亲结点指向它的指针清零，再释放它即可。如a所示

被删结点右子树为空，可以拿它的左子女结点顶替它的位置，再释放它。

被删结点左子树为空，可以拿它的右子女结点顶替它的位置，再释放它。如b所示

被删结点左、右子树都不为空，可以在它的右子树中寻找中序下的第一个结点 ( 关键码最小 ), 用它的值填补到被删结点中，再来处理这个结点的删除问题。（这个点需要一个比他大的最少的数）

在B中，16的左子树空，16用他的右子树填补

在C中，5的左右子树都不为空，采取找到右子树最小值（中序查找到的第一个值），将6填入5，然后6变成了一个hole，递归执行直到最后一个取代的值的左右子树有一个为空，结束。原则是这样子，但是一般都不会使用递归实现。

取代的是，p是5，q从5开始，s是5的右子树，即q一直是s的前驱。然后s向左走到尽头，q一直保存前驱，最后s变为6，q为10，然后将p上的值存储为6，将6的右子树接入到10的左子树

第一步，做类似查找的操作：

void DeleteBST(BiTree &T,int key, int& result)
{result = 0;if(T==NULL) {result = 0; //要搜索的子树为空}else{if(key==T->data)//找到关键字等于key的数据元素并删除它 {Delete(T); //在二叉排序树中删除结点p,并重接它的左或右子树result = 1;} else if(key<T->data) //继续在左子树中删除{DeleteBST(T->lchild,key,result);}else //继续在右子树中删除{DeleteBST(T->rchild,key,result); }}
}

第二步、实现Delete(T)，删除节点p，重接它的左右子树。

方法一：找到右子树最小的值。

方法二、找到左子树最大的值。

void Delete(BiTree &p)
{//在二叉排序树中删除结点p,并重接它的左或右子树BiTree s,q;if(p->rchild == NULL) //右子树空，只需重接它的左子树{cout<<"p value"<<p->data<<endl;q=p;p=p->lchild;free(q);}else if(p->lchild == NULL) //左子树空，只需重接它的右子树{cout<<"p2 value"<<p->data<<endl;q=p;p=p->rchild;free(q);}else //左右子树均不空{q=p;//q一直是s的前驱，负责保存s游走后的位置s=p->rchild;//s不断向左游走，转右，向左走到尽头while(s->lchild){q=s;s=s->lchild;} p->data=s->data; //q的值也被改变cout<<"s value"<<s->data<<endl;cout<<"q value"<<q->data<<endl;cout<<"p value"<<p->data<<endl;if(q!=p) q->lchild=s->rchild; else //删除78， 左右为65,94，q没有前进过地址没变，但是值变为了94{q->rchild=s->lchild; }free(s);}
}

整个可执行程序的代码如下：

演示的二叉堆为：

</pre><p></p><div style="top: 576px;"><pre name="code" class="cpp">#include <iostream>
using namespace std;
#define Maxsize 100
typedef struct BiTNode //定义二叉树节点结构
{int data; //结点的数据域struct BiTNode *lchild,*rchild; //左右孩子指针域
}BiTNode,*BiTree;
BiTNode *CreatBST(int A[],int n);
void SearchBST(BiTree,int,BiTree,BiTree&,int& result); //在二叉排序树中查找元素
int InsertBST(BiTree &,int); //在二叉排序树中插入元素
int DeleteBST(BiTree &,int); //在二叉排序树中删除元素
void Delete(BiTree &); //删除二叉排序树的根结点
void InorderBST(BiTree); //中序遍历二叉排序树，并显示
void inorder(BiTree T);
int A[Maxsize];BiTNode *CreatBST(int A[],int n)   //由数组A中的关键字建立一棵二叉排序树
{BiTNode *bt=NULL;                  //初始bt 为空树int i=0;while(i<n)if(InsertBST(bt,A[i])==1)      //将数组A[i]插入二叉排序树bt中{printf("  Step%d，Insert：%d:",i+1,A[i]);InorderBST(bt);printf("\n");i++;}return bt;                      //返回建立的二叉排序树的根指针
}void InorderBST(BiTree T)
{//以中序方式遍历二叉排序树T，并显示if(T!=NULL){printf("%d",T->data);if(T->lchild!=NULL||T->rchild!=NULL){printf("(");InorderBST(T->lchild);//递归调用中序遍历函数if(T->rchild!=NULL)printf(",");InorderBST(T->rchild); //递归调用中序遍历函数printf(")");}}}
void inorder(BiTree T)
{if(T!=NULL){inorder(T->lchild);cout<<" "<<T->data;inorder(T->rchild);}
}/********************************************************************
Method:      SearchBST
Description:
Access:      public
Returns:     int
Parameter:   T: the tree that will be searched, f:the father tree of thetree that will be searched       p：point to the elements that =key, or when result =0; point to the last leaf node
********************************************************************/
void SearchBST(BiTree T,int key,BiTree f,BiTree &p,int& result)
{result = 0;if(T == NULL){p=f;result = 0;}else if(key>T->data){SearchBST(T->rchild,key,T,p,result);}else if(key<T->data){SearchBST(T->lchild,key,T,p,result);}else if(key == T->data){p=T;result = 1;}
}int InsertBST(BiTree &T,int key)
{BiTree p,s;int result = 0;SearchBST(T,key,NULL,p,result);if(result == 0) //查找不成功，插入{s = new BiTNode;s->data=key;s->lchild=s->rchild=NULL;if(p == NULL) T=s; //被插结点*s为新的根结点else if(key<p->data) p->lchild=s; //被插结点*s为左孩子else p->rchild=s; //被插结点*s为右孩子return 1; //成功插入}else return 0; //树中已存在关键字为e的数据元素
}int DeleteBST(BiTree &T,int key)
{//若二叉排序树T中存在关键字等于key的数据元素时，则删除该数据元素结点
//并返回1,否则返回0int tmp1,tmp2;tmp1=tmp2=0;if(!T) return 0; //不存在关键字等于key的数据元素else{if(key==T->data)   {Delete(T); return 1;} //找到关键字等于key的数据元素并删除它else if(key<T->data) tmp1=DeleteBST(T->lchild,key); //继续在左子树中删除else tmp2=DeleteBST(T->rchild,key); //继续在右子树中删除if(tmp1||tmp2) return 1; //在子树中删除成功，返回1else return 0; //不存在该元素，返回0}
}void Delete(BiTree &p)
{//在二叉排序树中删除结点p,并重接它的左或右子树BiTree s,q;if(p->rchild == NULL) //右子树空，只需重接它的左子树{cout<<"p value"<<p->data<<endl;q=p;p=p->lchild;free(q);}else if(p->lchild == NULL) //左子树空，只需重接它的右子树{cout<<"p2 value"<<p->data<<endl;q=p;p=p->rchild;free(q);}else //左右子树均不空{q=p;//q一直是s的前驱，负责保存s游走后的位置s=p->rchild;//s不断向左游走，转右，向左走到尽头while(s->lchild){q=s;s=s->lchild;} p->data=s->data; //q的值也被改变cout<<"s value"<<s->data<<endl;cout<<"q value"<<q->data<<endl;cout<<"p value"<<p->data<<endl;if(q!=p) q->lchild=s->rchild; else //删除78， 左右为65,94，q没有前进过地址没变，但是值变为了94{q->rchild=s->lchild; }free(s);}
}void main()
{BiTree T,p;int ch,keyword;char j='y';//控制程序结束与否int temp; printf("Creat the BST!\n");const int n = 10;int A[n]={53,17,78,9,45,65,94,23,81,88};T=CreatBST(A,n);//调用建树函数建树inorder(T);while(j!='n'){printf("1.display\n");printf("2.search\n");printf("3.insert\n");printf("4.delete\n");printf("5.exit\n");scanf(" %d",&ch); //输入操作选项switch(ch){ case 1:if(!T) printf("The BST has no elem.\n");else {InorderBST(T);printf("\n");}//中序遍历并显示break;case 2:printf("Input the keyword of elem to be searched(a number):");scanf(" %d",&keyword); //输入要查找元素的关键字SearchBST(T,keyword,NULL,p,temp);//查找if(!temp) printf("%d isn't existed!\n",keyword); //没有找到else printf("%d has been found!\n",keyword); //成功找到break;case 3:printf("Input the keyword of elem to be inserted(a number):");scanf(" %d",&keyword); //输入要插入元素的关键字temp=InsertBST(T,keyword);//插入if(!temp) printf("%d has been existed!\n",keyword); //该元素已经存在else printf("Sucess to inert %d!\n",keyword); //成功插入break;case 4:printf("Input the keyword of elem to be deleted(a number):");scanf(" %d",&keyword); //输入要删除元素的关键字temp=DeleteBST(T,keyword);//删除InorderBST(T);if(!temp) printf("%d isn't existed!\n",keyword); //该元素不存在else printf("Sucess to delete %d\n",keyword); //成功删除break;case 5: j='n';//跳出循环，结束程序}}printf("The program is over!\nPress any key to shut off the window!\n");getchar();getchar();
}