（数论专题）【斐波那契通项公式 + 等比数列求和公式】

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斐波那契通项公式（证明略）：

例题：

求当n趋向于无穷大，Sn等于什么，输出最简分数。

分子是斐波那契数列，分母是K的 i 次方， K是给定的。

思路：

代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define int long longusing namespace std;signed main()
{int T;cin>>T;while ( T-- ) {int k;cin>>k;int up=k,down=k*k-k-1;int gcd = __gcd(up,down);up/=gcd;down/=gcd;if ( down==1 ) cout << up << endl;else cout << up << "/" << down << endl;}return 0;
}

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Fibonacci Sum

将斐波那契的通项公式带入需要求的式子，再根据二项式定理展开

这样就根据等比公式就可以得到通式，枚举i=0~k相加就是答案。

还有一个问题是a和b不是整数，所以没法在乘法中取模。

这就需要用到二项同余求解

求得x = 383008016，因为x也可以等于 $\sqrt{5}$ 所以 $\sqrt{5}$ 在%mod的条件下也可以等于383008016

（这里提一句，比赛时写二项同余代码太费时间，可以直接暴力求，lst = [ i for i in range(1,mod) if i*i%mod==5 ] , 不到一分钟就能跑出来，类比到其他的情况也可以 )

A = (1+x)*inv(2)%mod B = (1-x)*inv(2)%mod+mod

注意：等比公式可能出现分母为0的情况，显然会出错，需要特判。

注意：需要优化，否则超时。

化简出来的和等于

$ans=\sum ^{i=0,i<=k} (-1)^{i} * C_{k}^{i} * ( \frac{tmp*(tmp^{n}-1)}{tmp-1} )$

$tmp=(A^{c})^{k-i}*(B^{c})^{i}$

观察随着 i 的变化tmp的变化，容易发现 i 增加 1 tmp乘以B除以A。

所以就省去了很多个快速幂，直接手动维护tmp的值就可以了。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define int long longusing namespace std;
const int mod = 1000000009;
int a[100005],b[100005];int qpow( int a, int n )
{int re = 1;while ( n ) {if ( n&1 ) re=(re*a)%mod;a=(a*a)%mod;n>>=1;}return re;
}int C( int n, int m )
{if ( n<m ) return 0;int ans = ((a[n]*b[m])%mod*b[n-m])%mod;return ans;
}int inv( int x )
{return qpow(x,mod-2);
}signed main()
{
//    cout << qpow(3,128900) << endl;
//    cout << qpow(3,128900%mod) << endl;// x^2 = 5%(1e9+9)
//    int x = 383008016;
//    cout << (1+x)*inv(2)%mod << endl;
//    cout << (1-x)*inv(2)%mod+mod << endl;int A=691504013,B=308495997;a[0]=a[1]=1;for ( int i=2; i<=100003; i++ ) a[i]=(a[i-1]*i)%mod;for ( int i=0; i<=100003; i++ ) b[i]=qpow(a[i],mod-2);int n,c,k,T;cin>>T;while ( T-- ) {scanf("%lld %lld %lld",&n,&c,&k);int ac = qpow(A,c);int bc = qpow(B,c);int bei = bc*inv(ac)%mod;int Bei = qpow(bei,n);int tmp = qpow(ac,k);int Tmp = qpow(tmp,n);int sum = 0,now;for ( int i=0; i<=k; i++ ) {if ( tmp==1 ) now = C(k,i)*(n%mod)%mod;else now = C(k,i)*tmp%mod*(Tmp-1)%mod*inv(tmp-1)%mod;if ( i%2==0 ) sum = (sum+now)%mod;else {sum = (sum-now)%mod;if ( sum<0 ) sum+=mod;}tmp = tmp*bei%mod;Tmp = Tmp*Bei%mod;}sum *= inv( qpow(383008016,k) );sum %= mod;if ( sum<0 ) sum+=mod;printf("%lld\n",sum);}return 0;
}

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