【算法】斐波那契数列通项公式

2024-06-12 08:32:13

特征方程和通项公式

如果数列ana_nan的递推公式：an=c1an−1+c2an−2a_n=c_1a_{n-1}+c_2a_{n-2}an=c1an−1+c2an−2------(1)

根据待定系数法，假设an−xan−1=y(an−1−xan−2)a_n-xa_{n-1}=y(a_{n-1}-xa_{n-2})an−xan−1=y(an−1−xan−2)-----（2）
（1）和（2）比较得

根据韦达定理，x,yx,yx,y是方程t2−c1t−c2=0t^2-c_1t-c_2=0t2−c1t−c2=0的两个根，我们也将这个方程称为数列ana_nan的特征方程

根据方程（2）可以推出an−xan−1=yn−1(a1−xa0)a_n-xa_{n-1}=y^{n-1}(a_1-xa_0)an−xan−1=yn−1(a1−xa0)（等比数列）-----（3）

下面我们将两个根t1,t2t_1,t_2t1,t2分别带入方程（3）得

将(5)∗t1−(4)∗t2(5)*t_1-(4)*t_2(5)∗t1−(4)∗t2得

(t1−t2)an=(a1−t2a0)t1n−(a1−t1a0)t2n(t_1-t_2)a_n=(a_1-t_2a_0)t_1^n-(a_1-t_1a_0)t_2^n(t1−t2)an=(a1−t2a0)t1n−(a1−t1a0)t2n

再整理得

an=a1−t2a0t1−t2t1n−a1−t1a0t1−t2t2na_n=\frac{a_1-t_2a_0}{t_1-t_2}t_1^n-\frac{a_1-t_1a_0}{t_1-t_2}t_2^nan=t1−t2a1−t2a0t1n−t1−t2a1−t1a0t2n

而a0,a1,t1,t2a_0,a_1,t_1,t_2a0,a1,t1,t2均已知，可当作常项，于是ana_nan的通项公式：

an=At1n+Bt2na_n=At_1^n+Bt_2^nan=At1n+Bt2n
t1,t2t_1,t_2t1,t2是特征方程的两个根
A,BA,BA,B为常项，一般通过待定系数法求出

斐波那契通项公式

斐波那契数列的递推公式：an=an−1+an−2a_n=a_{n-1}+a_{n-2}an=an−1+an−2

于是特征方程为：x2−x−1=0x^2-x-1=0x2−x−1=0的两个根：x1=1+52x_1=\frac{1+\sqrt5}{2}x1=21+5和x2=1−52x_2=\frac{1-\sqrt5}{2}x2=21−5

则an=Ax1n+Bx2na_n=Ax_1^n+Bx_2^nan=Ax1n+Bx2n，将a1=1,a2=1a_1=1,a_2=1a1=1,a2=1带入可求得A=15,B=−15A=\frac{1}{\sqrt5},B=-\frac{1}{\sqrt5}A=51,B=−51

即通项公式：an=15[(1+52)n−(1−52)n]a_n=\frac{1}{\sqrt5}[(\frac{1+\sqrt5}{2})^n-(\frac{1-\sqrt5}{2})^n]an=51[(21+5)n−(21−5)n]

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