莫比乌斯反演定理证明
我也不知道为啥要证明这玩意,但是我比较傻,看懂一遍之后怕忘了,所以还是写个博客。。
首先给出这么一个定义式:
$f(n)=\sum_{d\vert n}g(d)$
于是就有这么一个定理:
$g(n)=\sum_{d\vert n}\mu(d)\cdot f(\frac nd)$
话说回来这个$\mu(d)$就是莫比乌斯函数,定义是这样的
(1)若,那么
(2)若,均为互异素数,那么
(3)其它情况下
于是有这样的性质
(1)对任意正整数有
(2)对任意正整数有
第一个性质其实还算好证。大概手玩一下组合数就行了。第二个我没推也没用上、、
下面是我xjb证的过程。。
首先要证$g(n)=\sum_{d\vert n}\mu(d)\cdot f(\frac nd)$,只要证明右边等于$g(n)$。
右式$=\sum_{d\vert n}(\mu(d)\cdot\sum_{e\vert\frac nd}g(e))$(定义式)
$=\sum_{d\vert n}\sum_{e\vert\frac nd}(\mu(d)\cdot g(e))$(分配率)
稍微理解一下,发现其实是所有满足$(d\cdot e)\vert n$的二元组$(d,e)$之和。
于是可以交换前两个sum的位置即
$=\sum_{e\vert n}\sum_{d\vert\frac ne}\mu(d)\cdot g(e)$
$=\sum_{e\vert n}g(e)\cdot\sum_{d\vert\frac ne}\mu(d)$(分配率逆定律)
我们知道只有当$\frac ne=1$即$e=1$的时候后半部分才等于1,其他情况都为0。所以就等于$g(n)$。
得证。
upd
发现以前的证明不够优美啊。狄利克雷卷积的证明真的让人愉悦~
详见知乎高票回答https://www.zhihu.com/question/23764267
话说回来,莫比乌斯反演的第二种形式
$g(n)=\sum_{n\vert d}\mu(\frac dn)f(d)$
求一个证明啊qwq
转载于:https://www.cnblogs.com/orzzz/p/8023316.html
莫比乌斯反演定理证明相关推荐
- 狄利克雷卷积莫比乌斯反演证明
狄利克雷卷积简介 卷积这名字听起来挺学究的,今天学了之后发现其实挺朴实hhh. 卷积: "(n)"表示到n的一个范围. 设\(f,g\)是两个数论函数(也就是说,以自然数集为定义域 ...
- 莫比乌斯函数莫比乌斯反演证明
前言? 终于放假了~~感觉再不趁机颓会儿我博客就废了-- 赶紧写点东西刷刷存在感(骗点积分) 莫比乌斯函数 定义一种函数$\mu(d)$,满足: 1.若$d=1$,则$\mu(d)=1$. 2.若$d ...
- python莫比乌斯_莫比乌斯函数 - osc_7eqzxl4g的个人空间 - OSCHINA - 中文开源技术交流社区...
前导 要学习莫比乌斯函数 需要学习 到 积性函数,深度理解欧拉筛. 先说说什么是积性函数吧. 积性函数 其实积性函数非常好理解, 定义 积性函数:若gcd(a,b)=1,且满足f(ab)=f(a)f( ...
- IOI APIO NOI NOIP 知名 选手 神犇 大牛 大神 博客
IOI APIO NOI NOIP 知名 选手 神犇 大牛 大神 博客 福建 钟子谦 博客http://www.cnblogs.com/zzqsblog/ 现役选手,待更新. 广东 王之栋 ...
- 莫比乌斯反演的证明(非狄利克雷卷积法)
首先给大家介绍一下莫比乌斯函数吧,其实这个函数挺好理解的,只是一个容斥系数 μ(d)的定义是: 当d=1时,μ(d)=1: 当d=Πki=1pi且pi为互异素数时,μ(d)=(−1)k.(说直白点,就 ...
- 【算法笔记】莫比乌斯反演(包含定理,两种形式的证明及入门经典模板)
整理的算法模板合集: ACM模板 目录 一.莫比乌斯反演 二.几个概念和定理 三.两种形式的莫比乌斯反演证明 四.POJ 3904 Sky Code(入门例题) 一.莫比乌斯反演 学习笔记,我是看这个 ...
- Mobius反演(莫比乌斯反演)
莫比乌斯反演在数论中占有重要的地位,许多情况下能大大简化运算.那么我们先来认识莫比乌斯反演公式. 定理:和是定义在非负整数集合上的两个函数,并且满足条件,那么我们得到结论 在上面的公式中有一个函数,它 ...
- 莫比乌斯反演公式推导
莫比乌斯函数 定义 对于一个数x=p1α1p2α2...pkαk,αi≥1x=p_1^{\alpha _1}p_2^{\alpha _2}...p_k^{\alpha _k},\ \alpha _i ...
- 莫比乌斯反演入门讲解
莫比乌斯反演实际上是一两个公式定理的运用,自认为想要掌握它的话,其中的证明还是有必要了解的.看过网上一些博客,感觉都只证明了一半,没看到有人将这个定理完全证明出来.然而我最近在正好在学习初等数论,发现 ...
最新文章
- 复盘一次服务安装失败问题
- 堡垒机jumpserver集群部署
- CSS3动画属性之Transition
- 数据结构——二叉树的最小深度算法
- 使用EasyMock或Mockito
- 万字长文丨7个经典问题,助你拿下Java面试(建议收藏)
- php获取扫码枪的数据,js 获取扫码枪输入数据的方法
- VMware 虚拟上网的的三种模式 ——bridged、host-only、NAT 模式
- 第四周Java学习总结
- python autoitlibrary_记录RF安装AutoItLibrary库的辛酸过程
- Memcached CAS协议 通过版本号,防止多线程修改错误
- android 长截屏实现,Android实现截屏与截长图功能
- WM_SIZING 使用说明
- 枚举算法5——填数游戏
- MPAndroidchart自定义样式二在柱状图上显示文本和间断式显示柱状图
- Percona-toolkit的安装和配置-杨建荣的学习笔记
- 点云语义分割:pointnet++训练S3DIS数据集
- PyQt+Opencv-python多线程显示摄像头信息至QLabel,摄像头显示区域自由拉伸尺寸
- 2021年前端最新技术是什么?本篇汇总完整前端学习路线图
- oracle的日志在哪找,oracle日志文件路径怎么找
热门文章
- Mysql Insert Or Update语法实例
- 记录层序遍历中每层右侧第一个数字 Binary Tree Right Side View
- WCF技术剖析之十一:异步操作在WCF中的应用(上篇)
- 参数binlog_rows_query_log_events和binlog_row_image 与用 binlog恢复数据
- 【mongoDB】测试使用gridfs,配置一个分片服务器集群
- android 中ScrollView的使用
- android颜色值的表示方法android:background=#FFFFFFFF的意思
- 如何实现一套可切换的声网+阿里的直播引擎
- Python Day28
- webpack 配置