前导

要学习莫比乌斯函数 需要学习 到 积性函数，深度理解欧拉筛。

先说说什么是积性函数吧。

积性函数

其实积性函数非常好理解，

定义

积性函数：若gcd(a,b)=1，且满足f(ab)=f(a)f(b)，则称f(x)为积性函数

完全积性函数：对于任意正整数a，b，都满足f(ab)=f(a)f(b)，则称f(x)为完全积性函数

性质

1.若f(n),g(n)均为积性函数，则函数h(n)=f(n)g(n)也是积性函数

2.若f(n)为积性函数，则函数c*f(n)(c是常数)也是积性函数，反之一样

3.任何积性函数都能应用线性筛，在O(n)时间内求出1~n项(莫比乌斯就要用到)，像素数，欧拉函数等都是 积性函数。

知道这些之后，我们就来看莫比乌斯函数。

莫比乌斯函数

定义：

莫比乌斯函数主要是个分段函数。

性质：

1.对于任意正整数n，∑ d ∣ n n μ ( d ) = [ n = 1 ] \sum_{d|n}^{n}{μ(d)=[n=1]}∑d∣nn​μ(d)=[n=1] 。([n==1]表示只有当n=1成立时，返回值为1；否则，值为0；(这个就是用μ是容斥系数的性质可以证明)(PS:这一条性质是莫比乌斯反演中最常用的)

2.对于任意正整数n，∑ d ∣ n n μ ( d ) d = ϕ ( n ) n \sum_{d|n}^{n}{\frac{μ(d)}{d}=\frac{ϕ(n)}{n}}∑d∣nn​dμ(d)​=nϕ(n)​ (这个性质很奇妙，它把欧拉函数和莫比乌斯函数结合起来)

强烈建议 ： 深度理解完这两条性质之后，在去看莫比乌斯反演，要不莫比乌斯反演不容易懂。

至于如何求莫比乌斯函数：我们知道莫比乌斯函数跟欧拉函数一样都是积性函数，所以我们可以同 欧拉筛一样吧莫比乌斯函数筛出来。

void get_mu(ll n){

mu[1]=1;// 存放 莫比乌斯函数；

//isprime[] 存放 是否是质数

//prime[] 存放 质数

for(int i=2;i<=n;i++){

if(!isprime[i]) {

prime[++cnt]=i;

mu[i]=-1;

}

for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;j++){

isprime[i*prime[j]]=1;

if(i%prime[j]==0){mu[i*prime[j]]=0;break;}//也可以直接break 因为里面本来存的就是0

else mu[i*prime[j]]=-mu[i];

}

}

}

莫比乌斯反演

我只是掌握皮毛，有深层次的理解在更新，有更好的理解也可以分享给我哦~~~。 不胜感激！

莫比乌斯反演的引入：

若 F ( n ) = ∑ d ∣ n n f ( d ) F(n)=\sum_{d|n}^{n}{f(d)}F(n)=∑d∣nn​f(d).

那么

从中，可以看出，若 n=p2(p是质数)那么F ( p ) = f ( 1 ) + f ( p ) , F ( n ) = f ( 1 ) + f ( p ) + f ( p 2 ) F\left( p \right)=f\left( 1 \right)+f\left( p \right),F\left( n \right)=f\left( 1 \right)+f\left( p \right)+f\left( p^2 \right)F(p)=f(1)+f(p),F(n)=f(1)+f(p)+f(p2),所以 f ( n ) = F ( p 2 ) − F ( p ) f\left( n \right)=F\left( p^2 \right)-F\left( p \right)f(n)=F(p2)−F(p)

通过推广我们可以得到就像n=8，(！=p2) 他也满足这个式子

f ( n ) = ∑ d ∣ n n u ( d ) F ( n d ) f\left( n \right)=\sum_{d|n}^{n}{u\left( d \right)}{F\left( \frac{n}{d} \right)}f(n)=∑d∣nn​u(d)F(dn​)

根据上个推广的来的式子我们 就可以说 莫比乌斯反演定理了。

莫比乌斯反演定理

设 f ( n ) f\left ( n \right)f(n) 和g ( n ) g\left( n \right)g(n)是定义在正整数集合上的两个函数定义如下:

若函数f ( n ) f\left( n \right)f(n)函数:

f ( n ) = ∑ d ∣ n n g ( d ) = ∑ d ∣ n g ( n d ) f\left( n \right)=\sum_{d|n}^{n}{g\left( d \right)}=\sum_{d|n}^{}{g\left( \frac{n}{d} \right)}f(n)=∑d∣nn​g(d)=∑d∣n​g(dn​)

则有：

莫比乌斯反演定理证明

参考着个吧

理解就行。重要是定理。(个人认为)

莫比乌斯反演另一性质(与欧拉函数有关)

若n>1且n为正整数，则有∑ d ∣ n u ( d ) = 0 \sum_{d|n}^{}{u\left( d \right)}=0∑d∣n​u(d)=0

若n=1，则该式为1、

2，

对任意正整数n均有：

∑ d ∣ n u ( d ) d = ϕ ( n ) n \sum_{d|n}^{}{\frac{u\left( d \right)}{d}}=\frac{\phi \left( n \right)}{n}∑d∣n​du(d)​=nϕ(n)​