从蓝桥杯来谈Fibonacci数列

2014年蓝桥杯的第九题是这样描述的：

给定Fibonacci数列F[]，其中，，求表达式

的值。其中

在讲解这道题之前，我们先来看一个简单版的。题目如下：

题目：http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1194

分析：可以看出本题就是直接求,虽然这里的很大，但是比较小啊，只到1000，那么实际上

在Fibonacci数列中有很多有用的性质，比如：

实际上，这个两个公式的推导过程也比较简单。（两种证明方法：带入公式验证；数学归纳法）

所以，我们可以这样来把原表达式变形，即：

那么，我们继续对用同样的方法递归下去，容易得到：

可以看出，到了这一步，我们就把所有的Fibonacci数列的下标减小了，基本可以直接计算了。

因为，所以我们得到。

所以到了这里，本题基本就说完了，只需要预处理前1000个Fibonacci数列即可。代码如下：

import java.io.*;
import java.util.*;
import java.math.BigInteger;public class Main {final static int N = 1005;static BigInteger F[] = new BigInteger[N];static void Init(){F[0] = BigInteger.ZERO;F[1] = BigInteger.ONE;for(int i=2;i<N;i++)F[i] = F[i-1].add(F[i-2]);}public static void main(String[] args){Init();Scanner cin = new Scanner(System.in);int T = cin.nextInt();while(T-- != 0){long n = cin.nextLong();int k = cin.nextInt();int x = (int)(n % k);long y = n / k;int sign = 1;if((k & 1) == 1)sign = -1;BigInteger ans = F[x];if(sign == 1){if((y & 1L) == 1L)ans = ans.multiply(F[k-1]);}else{if((y & 1L) == 1L)ans = ans.multiply(F[k-1]);y >>= 1;if((y & 1L) == 1L) ans = ans.multiply(F[k].subtract(BigInteger.ONE));}System.out.println(ans.mod(F[k]));}}
}

完美解出上题后，我们来看2014年蓝桥杯的C++ A组的第九题，题目描述在文章开始处。

可以看出本题的难点在于很大，所以导致也会很大，当然求和的那部分是很简单的。

因为，那么就有

所以我们可以把原问题简单模型化为求。

经过上面简单版题目的介绍，我们知道

又知道

那么分为奇偶情况进行讨论：

一.为偶数时

很明显，这样我们再分为奇偶进行讨论

（1）如果为偶数，那么有

（2）如果为奇数，那么有

二.为奇数时

得到，再继续分的奇偶和的奇偶情况进行讨论

（1）如果为偶数且为偶数，那么

（2）如果为偶数且为奇数，那么

（3）如果为奇数且为偶数，那么

（4）如果为奇数且为奇数，那么

从上面的所有情况来看，难点就在于如何进一步简化。

对于这个问题，我们还有另一个性质

性质：若，则

可以看出，再对比，可知。

我们令，那么利用上述性质，我们替换一下：，得到：

，变换一下顺序，即

，所以

可以看出，所以再分的奇偶性进行讨论：

（1）为奇数时，

（2）为偶数时，

到了这里，我们就对进行了简化，那么再对取余用矩阵快速幂解决即可。

最后，来看一道类似的题目。描述如下

题目：http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1365

代码：

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 2;
const int MOD = 1000000007;struct Matrix
{LL m[N][N];
};Matrix I = {1, 0,0, 1
};Matrix A = {1, 1,1, 0
};Matrix multi(Matrix A, Matrix B)
{Matrix C;for(int i = 0; i < N; i++){for(int j = 0; j < N; j++){C.m[i][j] = 0;for(int k = 0; k < N; k++)C.m[i][j] += A.m[i][k] * B.m[k][j];C.m[i][j] %= MOD;}}return C;
}Matrix Power(Matrix A, LL n)
{Matrix ans = I, P = A;while(n){if(n & 1){ans = multi(ans, P);n--;}n >>= 1;P = multi(P, P);}return ans;
}//计算F(n) % MOD
LL getFun(LL n)
{Matrix ans = Power(A, n);return ans.m[1][0];
}//计算F(m - 1) * F(n % m) mod F(m)
LL getRes(LL n, LL m)
{LL k = n % m;if(k & 1)return getFun(m - k);return ((getFun(m) - getFun(m - k)) % MOD + MOD) % MOD;
}LL Solve(LL n, LL m)
{LL t1 = n / m;if(m & 1){LL t2 = t1 >> 1;if(t1 % 2 == 0 && t2 % 2 == 0)return getFun(n % m);if(t1 % 2 == 0 && t2 % 2 == 1)return ((getFun(m) - getFun(n % m)) % MOD + MOD) % MOD;if(t1 % 2 == 1 && t2 % 2 == 0)return getRes(n, m);if(t1 % 2 == 1 && t2 % 2 == 1)return ((getFun(m) - getRes(n, m)) % MOD + MOD) % MOD;}else{if(t1 & 1)return getRes(n, m);elsereturn getFun(n % m);}
}LL getResponse(LL n, LL m)
{
//  n += 2;LL res = Solve(n, m);
//  if(res == 0)
//      return getFun(m) - 1;
//  return res - 1;return res;
}int main()
{int T;scanf("%d", &T);while(T--){LL n, k;scanf("%lld %lld", &n, &k);printf("%lld\n", getResponse(n, k));}return 0;
}

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