2021-11-15UA OPTI512R 傅立叶光学导论20 夫琅禾费衍射

UA OPTI512R 傅立叶光学导论20 夫琅禾费衍射

Fraunhofer衍射的推导

Fraunhofer衍射的推导

从波的传播公式开始
u2(x2,y2)=∬−∞+∞u1(x1,y1)zjλrejkrrdx1dy1u_2(x_2,y_2) = \iint_{-\infty}^{+\infty}u_1(x_1,y_1)\frac{z}{j \lambda r}\frac{e^{j k r}}{r} dx_1dy_1u2(x2,y2)=∬−∞+∞u1(x1,y1)jλrzrejkrdx1dy1

我们上一讲用small angle approximation计算了Fresnel衍射的公式：
u2(x2,y2)=ejkzjλz∬−∞+∞u1(x1,y1)ejπλz[(x2−x1)2+(y2−y1)2]⏟quadracticwavefrontdx1dy1u_2(x_2,y_2)=\frac{e^{jkz}}{j\lambda z} \iint_{-\infty}^{+\infty}u_1(x_1,y_1) \underbrace{e^{j \frac{\pi}{\lambda z}[(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2]}}_{quadractic\ wavefront}dx_1dy_1u2(x2,y2)=jλzejkz∬−∞+∞u1(x1,y1)quadractic wavefrontejλzπ[(x2−x1)2+(y2−y1)2]dx1dy1

它的含义是在Fresnel field中，我们可以用二次曲面波作为对波源的近似；在Frauhofer field中，这个近似依然成立，但此时x12+y12<<z2x_1^2+y_1^2 <<z^2x12+y12<<z2，由此可以对上式做进一步近似，
πλz[(x2−x1)2+(y2−y1)2]=πλz(x12+y12+x22+y22−2x1y1−2x2y2)≈πλz(x22+y22−2x1x2−2y1y2)\begin{aligned}\frac{\pi}{\lambda z}[(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2] & =\frac{\pi}{\lambda z}(x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2-2x_1y_1-2x_2y_2) \\ &\approx \frac{\pi}{\lambda z}(x_2^2+y_2^2-2x_1x_2-2y_1y_2) \end{aligned}λzπ[(x2−x1)2+(y2−y1)2]=λzπ(x12+y12+x22+y22−2x1y1−2x2y2)≈λzπ(x22+y22−2x1x2−2y1y2)

代入到Fresnel衍射的公式中可得
u2(x2,y2)=ejkzjλzejπλz(x22+y22)∬−∞+∞u1(x1,y1)e−j2πλ(x1x2+y1y2)dx1dy1u_2(x_2,y_2)=\frac{e^{j k z}}{j \lambda z}e^{j \frac{\pi}{\lambda z}(x_2^2+y_2^2)}\iint_{-\infty}^{+\infty} u_1(x_1,y_1)e^{-j \frac{2 \pi}{\lambda}(x_1x_2+y_1y_2)}dx_1dy_1u2(x2,y2)=jλzejkzejλzπ(x22+y22)∬−∞+∞u1(x1,y1)e−jλ2π(x1x2+y1y2)dx1dy1

综上，用L1L_1L1表示衍射的apperture size（比如小孔的孔径、单缝的缝宽），当z>>πL12λz>>\frac{\pi L_1^2}{\lambda}z>>λπL12时，观察到的衍射为夫琅禾费衍射，对应的波形为
u2(x2,y2)=ejkzjλzejπλz(x22+y22)∬−∞+∞u1(x1,y1)e−j2πλ(x1x2+y1y2)dx1dy1=ejkzjλzejπλz(x22+y22)F[u1(x1,y1)](ξ=x2λz,η=y2λz)\begin{aligned}u_2(x_2,y_2) & =\frac{e^{j k z}}{j \lambda z}e^{j \frac{\pi}{\lambda z}(x_2^2+y_2^2)}\iint_{-\infty}^{+\infty} u_1(x_1,y_1)e^{-j \frac{2 \pi}{\lambda}(x_1x_2+y_1y_2)}dx_1dy_1 \\ & =\frac{e^{j k z}}{j \lambda z}e^{j \frac{\pi}{\lambda z}(x_2^2+y_2^2)}\mathcal{F}[u_1(x_1,y_1)](\xi=\frac{x_2}{\lambda z},\eta=\frac{y_2}{\lambda z})\end{aligned}u2(x2,y2)=jλzejkzejλzπ(x22+y22)∬−∞+∞u1(x1,y1)e−jλ2π(x1x2+y1y2)dx1dy1=jλzejkzejλzπ(x22+y22)F[u1(x1,y1)](ξ=λzx2,η=λzy2)

例考虑单孔衍射，单孔半径为L1=1cmL_1=1cmL1=1cm，波长为1μm1\mu m1μm，观测者与单孔距离为z>>314mz>>314mz>>314m，也就是此时观测者观察到的衍射现象为夫琅禾费衍射。

zzz的大小与衍射类型总结
L1L_1L1表示衍射的apperture size（比如小孔的孔径、单缝的缝宽），L2L_2L2表示观测仪器的大小（比如方形白色屏幕的宽），zzz表示apperture到观测者的距离，λ\lambdaλ表示光的波长

衍射类型	条件	本质
夫琅禾费衍射	z>>πL12λz>>\frac{\pi L_1^2}{\lambda}z>>λπL12	平面波近似任意波源
菲涅尔衍射	z3>>π4λ(L1+L2)4z^3>>\frac{\pi}{4 \lambda}(L_1+L_2)^4z3>>4λπ(L1+L2)4	二次曲面波近似任意波源
瑞利-索墨菲衍射（近场衍射）	不满足上面两个条件时	球面波近似任意波源