Description

给出一个长度为 m 的序列 A, 请你求出有多少种 1…n 的排列, 满足 A 是它的一个 LIS.

Input

第一行两个整数 n,m.
接下来一行 m 个整数, 表示 A.

Output

一行一个整数表示答案.

Sample Input

5 3
1 3 4

Sample Output

Data Constraint

对于前 30% 的数据, n ≤ 9;
对于前 60% 的数据, n ≤ 12;
对于 100% 的数据, 1 ≤ m ≤ n ≤ 15.

Solution

考虑计算 LIS 时使用的经典方法。
记一个数组 ff ，f[i]f[i] 表示当前长度为 ii 的单调上升序列的结尾的最小值。
这个数组是一个单调不降的数组. 于是我们可以用二进制来表示它。
设 f(S,S0)f(S, S_0) 表示当前选了集合 SS 里的数，LIS 的 ff 数组状态为 S0S_0 时的方案数。
这不难转移，枚举在末尾加上哪个数即可。
观察发现 S0S_0 一定属于 SS，所以可以压成三进制。
每位用 0,1,20,1,2 分别表示还没选、选了且在单调上升序列、选了但不在单调上升序列。
于是枚举状态，算出目前的单调上升序列，在枚举还没选的转移即可。
注意枚举转移的数要按照 A 序列的顺序来。
若枚举到某一状态，其中每个数都已经选了，且单调上升序列的长度就是 mm ，即可统计答案。
时间复杂度 O(3N∗N)O(3^N*N) ，实际小很多，因为很多状态都遍历不到。

Code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cctype>
using namespace std;
int n,m,ans;
int a[17],b[17],c[17],p[17],f[14348907+5];
bool bz[17];
inline int read()
{int X=0,w=0; char ch=0;while(!isdigit(ch)) w|=ch=='-',ch=getchar();while(isdigit(ch)) X=(X<<3)+(X<<1)+(ch^48),ch=getchar();return w?-X:X;
}
int main()
{n=read(),m=read();for(int i=1;i<=m;i++){b[i]=read();if(b[i]<=b[i-1] || b[i]<1 || b[i]>n) return 0&printf("0");}for(int i=p[0]=1;i<=n;i++) p[i]=p[i-1]*3;f[0]=1;for(int i=0;i<p[n];i++)if(f[i]){bool pd=true;int tot=0,x=i;for(int j=n-1;j>=0;j--){c[j+1]=x/p[j];if(x>=p[j]){if(c[j+1]==1) a[++tot]=j+1;x%=p[j];}else pd=false;}reverse(a+1,a+1+tot);if(pd && tot==m) ans+=f[i];memset(bz,false,sizeof(bz));int num=1;while(num<=m && c[b[num]]) num++;while(num+1<=m) bz[b[++num]]=true;for(int j=1;j<=n;j++)if(!c[j] && !bz[j]){if(j>a[tot]){if(tot==m) continue;f[i+p[j-1]]+=f[i];}else{int y=upper_bound(a+1,a+1+tot,j)-a;f[i+p[j-1]+p[a[y]-1]]+=f[i];}}}printf("%d",ans);return 0;
}

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Output

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