[POI2013]LUK-Triumphal arch【树形DP+二分答案】

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给一颗树，1号节点已经被染黑，其余是白的，两个人轮流操作，一开始B在1号节点，A选择k个点染黑，然后B走一步，如果B能走到A没染的节点则B胜，否则当A染完全部的点时，A胜。求能让A获胜的最小的k。

好像洛谷给的N数据范围是1e5级别的。

于是，如果直接查的话，好想不大好查，但是如果我们现在假设一个答案k，然后呢，我们判断这个k是否可以满足这个条件，这样的做法会更好一些。

当我们假设一个k的时候，就可以判断它的可行性了，如果现在B要往树的某个方向走，那么它肯定选择的是最优的策略，因为再返回回来，走回头路一定不是最优的，现在用dp来辅助这个问题， $dp[u]$ 表示走u的子树的某条链的最多需要被染色的节点的个数（用的是除了这K次以外的次数）。

于是，可以确定dp方程：假设u是v的父亲节点， $du[u]$ 是不包含父亲节点的度数；

$sum = \sum dp[v]$

$dp[u] = max(dp[u], sum + du[u] - K)$

其中表示的意思就是，由于我们需要先染色，所以为了避免下一步就直接存在B可以走到未染色的点，所以需要至少 $du[u]$ 个点染色；然后，由于不确定B走的方向，所以还需要知道所有的需要被染色的点的个数，由于有K个可以染色的次数，所以就可以减去K次。

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#include <cstring>
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#include <map>
#include <bitset>
#include <unordered_map>
#include <unordered_set>
#define lowbit(x) ( x&(-x) )
#define pi 3.141592653589793
#define e 2.718281828459045
#define INF 0x3f3f3f3f
#define HalF (l + r)>>1
#define lsn rt<<1
#define rsn rt<<1|1
#define Lson lsn, l, mid
#define Rson rsn, mid+1, r
#define QL Lson, ql, qr
#define QR Rson, ql, qr
#define myself rt, l, r
#define pii pair<int, int>
#define MP(a, b) make_pair(a, b)
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
typedef unsigned int uit;
typedef long long ll;
const int maxN = 1e5 + 7;
int N, du[maxN] = {0};
namespace Graph
{int head[maxN], cnt;struct Eddge{int nex, to;Eddge(int a=-1, int b=0):nex(a), to(b) {}} edge[maxN << 1];inline void addEddge(int u, int v){edge[cnt] = Eddge(head[u], v);head[u] = cnt++;}inline void _add(int u, int v) { addEddge(u, v); addEddge(v, u); du[u]++; du[v]++; }inline void init(){cnt = 0;for(int i=1; i<=N; i++) head[i] = -1;}
};
using namespace Graph;
ll K;
ll dp[maxN];
void dfs(int u, int fa)
{int sum = 0;for(int i=head[u], v; ~i; i=edge[i].nex){v = edge[i].to;if(v == fa) continue;dfs(v, u);sum += dp[v];}dp[u] = 0;for(int i=head[u], v; ~i; i=edge[i].nex){v = edge[i].to;if(v == fa) continue;dp[u] = max(dp[u], sum + du[u] - K);}
}
bool check(int lim)
{K = lim;dfs(1, 0);return dp[1] == 0;
}
int main()
{scanf("%d", &N);init();for(int i=1, u, v; i<N; i++){scanf("%d%d", &u, &v);_add(u, v);}for(int i=2; i<=N; i++) du[i] --;int l = 0, r = N - 1, mid, ans = N - 1;while(l <= r){mid = HalF;if(check(mid)){r = mid - 1;ans = mid;}else{l = mid + 1;}}printf("%d\n", ans);return 0;
}

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