题意

给出一棵n个节点的树和k，边有边权，要求先从树中选k条边，然后把这k条边删掉，再加入k条边权为0的边，满足操作完后的图仍然是一棵树。问新树的带权直径最大是多少。
n,k≤3∗105n,k≤3∗105n,k\le3*10^5

分析

不难发现我们要求的就是在树中选出k+1条不相交的链使得其权值和最大。
当k比较小的时候，我们可以树形dp，设f[i,j,0/1/2]f[i,j,0/1/2]f[i,j,0/1/2]表示以i为根的树中选了j条链，节点i的度数为0/1/20/1/20/1/2时的最大权值。
这样做的复杂度是O(nk)O(nk)O(nk)的。
当k变大之后，我们就可以用带权二分来做。
具体来说就是二分一个权值midmidmid，然后给每条路径的权值加上midmidmid，再去除k的限制后进行dp。若选出的链的数量不小于k+1，则把mid减小，否则把mid增大。
当某一刻选出的链数量恰好为k+1，则当前权值-mid*(k+1)就是答案了。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>typedef long long LL;const int N=300005;
const LL inf=(LL)1e12;int n,k,cnt,last[N];
LL mid;
struct data
{LL x,y;bool operator > (const data &d) const {return x>d.x||x==d.x&&y>d.y;}bool operator < (const data &d) const {return x<d.x||x==d.x&&y<d.y;}data operator + (const data &d) const {return (data){x+d.x,y+d.y};}
}f[N][3],tmp[3];
struct edge{int to,next,w;}e[N*2];int read()
{int x=0,f=1;char ch=getchar();while (ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while (ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;
}void addedge(int u,int v,int w)
{e[++cnt].to=v;e[cnt].w=w;e[cnt].next=last[u];last[u]=cnt;e[++cnt].to=u;e[cnt].w=w;e[cnt].next=last[v];last[v]=cnt;
}void dp(int x,int fa)
{f[x][0]=(data){0,0};f[x][1]=(data){-inf,0};f[x][2]=(data){mid,1};for (int i=last[x];i;i=e[i].next){int to=e[i].to;if (to==fa) continue;dp(to,x);data u;tmp[0]=tmp[1]=tmp[2]=(data){-inf,0};u=f[x][0]+f[to][0];tmp[0]=std::max(tmp[0],u);u.x+=(LL)e[i].w+mid;u.y++;tmp[1]=std::max(tmp[1],u);u=f[x][0]+f[to][1];tmp[0]=std::max(tmp[0],u);u.x+=(LL)e[i].w;tmp[1]=std::max(tmp[1],u);u=f[x][0]+f[to][2];tmp[0]=std::max(tmp[0],u);u=f[x][1]+f[to][0];tmp[1]=std::max(tmp[1],u);u.x+=(LL)e[i].w;tmp[2]=std::max(tmp[1],u);u=f[x][1]+f[to][1];tmp[1]=std::max(tmp[1],u);u.x+=e[i].w-mid;u.y--;tmp[2]=std::max(tmp[2],u);u=f[x][1]+f[to][2];tmp[1]=std::max(tmp[1],u);u=f[x][2]+f[to][0];tmp[2]=std::max(tmp[2],u);u=f[x][2]+f[to][1];tmp[2]=std::max(tmp[2],u);u=f[x][2]+f[to][2];tmp[2]=std::max(tmp[2],u);f[x][0]=tmp[0];f[x][1]=tmp[1];f[x][2]=tmp[2];}
}int main()
{n=read();k=read();for (int i=1;i<n;i++){int x=read(),y=read(),z=read();addedge(x,y,z);}LL l=-inf,r=inf,ans;while (l<=r){mid=(l+r)/2;dp(1,0);data u=std::max(f[1][0],std::max(f[1][1],f[1][2]));if (u.y>=k+1) ans=u.x,r=mid-1;else l=mid+1;}printf("%lld",ans-(LL)(r+1)*(k+1));return 0;
}

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