LU分解

1.LU分解的基础知识

矩阵的LU分解又称为矩阵的三角分解，即将一个矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U，即A=LUA=LUA=LU,其在方程组的求解和求矩阵的逆有许多应用。

LU分解的求解命令是lu，基本使用格式如下：

调用格式	说明
[L,U]=lu(A)	将一个矩阵分解为一个下三角L和一个上三角U
[L,U,P]=lu(A)	对A进行分解，其中L为单位下三角矩阵，U为上三角矩阵，P为置换矩阵，满足LU=PA

例1,对矩阵A=[1234567823417856]A=\left[\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\ 7 & 8 & 5 & 6\end{array}\right]A=⎣⎢⎢⎡1527263837454816⎦⎥⎥⎤进行分解。

A=[1,2,3,4;5,6,7,8;2,3,4,1;7,8,5,6];
[L1,U1]=lu(A)L1 =    0.1429    1.0000         0         0
    0.7143    0.3333    1.0000         0
    0.2857    0.8333    0.2500    1.0000
    1.0000         0         0         0U1 =    7.0000    8.0000    5.0000    6.0000
         0    0.8571    2.2857    3.1429
         0         0    2.6667    2.6667
         0         0         0   -4.0000[L2,U2,P]=lu(A)L2 =    1.0000         0         0         0
    0.1429    1.0000         0         0
    0.7143    0.3333    1.0000         0
    0.2857    0.8333    0.2500    1.0000U2 =    7.0000    8.0000    5.0000    6.0000
         0    0.8571    2.2857    3.1429
         0         0    2.6667    2.6667
         0         0         0   -4.0000P =0     0     0     11     0     0     00     1     0     00     0     1     0

从上面两者的计算结果比较分析可以得出：使用第一种方法得到的上三角矩阵并不是严格的上三角矩阵，这样对于以后的分析和计算显然是不利的，所以在工程计算或者其他计算中都采用第二种方法。

2.LU分解法求解方程组

LU分解法求解的基本思路就是：将系数矩阵A进行分解，得到LU=PALU=PALU=PA,然后利用Ly=PbLy=PbLy=Pb,最后再解Ux=yUx=yUx=y,从而求解方程组的解。

例2：利用LU分解法求解方程组{x1+x2−3x3−x4=13x1−x2−3x3+4x4=4x1+5x2−9x3−8x4=0\left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}-3 x_{3}-x_{4}=1 \\ 3 x_{1}-x_{2}-3 x_{3}+4 x_{4}=4 \\ x_{1}+5 x_{2}-9 x_{3}-8 x_{4}=0\end{array}\right.⎩⎨⎧x1+x2−3x3−x4=13x1−x2−3x3+4x4=4x1+5x2−9x3−8x4=0 的解。

A = [1,1,-3,-1;3,-1,-3,4;1,5,-9,-8];
b=[1;4;0]b =140[L,U,P]=lu(A)L =1.0000         0         00.3333    1.0000         00.3333    0.2500    1.0000U =3.0000   -1.0000   -3.0000    4.00000    5.3333   -8.0000   -9.33330         0         0    0.0000P =0     1     00     0     11     0     0y = L'*P*by =4.33330.25001.0000>> x = U'*yx =13.0000-3.0000-15.000015.0000

利用函数实现如下：

function x= solvebyLU(A,b)
%此函数用于利用LU分解法解方程组
flag=isexist(A,b);    %判断方程组是否有解
if flag==0disp('方程组无解');x = [];return;
elser = rank(A);[m,n]=size(A);[L,U,P]=lu(A);b = P*b;%解Ly=by(1) = b(1);if m>1for i=2:my(i)=b(i)-L(i,1:i-1)*y(1:i-1)';endendy = y';%解Ux=y得方程组的解x0(r)=y(r)/U(r,r);if r>1for i=r-1:-1:1x0(i)=(y(i)-U(i,i+1:r)*x0(i+1:r)')/U(i,i);endendx0 = x0';if flag==1x=x0;return;elseformat rat;Z = null(A,'r');[mz,nz]=size(Z);x0(r+1:n)=0;for i=1:nzt=sym(char([107 48+i]));k(i)=t;endx=x0;for i=1:nzx = x+k(i)*Z(:,i);endendend

运行结果：

 A = [1,1,-3,-1;3,-1,-3,4;1,5,-9,-8];b = [1;4;0];
x = solvebyLU(A,b)x =(3*k1)/2 - (3*k2)/4 + 5/4(3*k1)/2 + (7*k2)/4 - 1/4k1k2

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