斯托克斯定理（Stokes' theorem）

1. 几种形式

∮∂SPdx+Qdy+Rdz=∬S∣∣∣∣∣∣cosα∂∂xPcosβ∂∂yQcosγ∂∂zR∣∣∣∣∣∣dS

\oint_{\partial S}Pdx+Qdy+Rdz=\iint_{S}\begin{vmatrix} \cos\alpha&\cos\beta&\cos\gamma\\ \frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\ P&Q&R \end{vmatrix}dS

∮∂Ωw=∬Ωdw

\oint_{\partial \Omega}w=\iint_{\Omega}dw

左边是内积；
右边是外积；

物理上的应用：

∮∂SE⃗ ⋅dℓ⃗ =∬S(∇×E⃗ )⋅dA⃗

\oint_{\partial S}\vec E\cdot d\vec \ell=\iint_{S}\left(\nabla\times \vec E\right)\cdot d\vec A

场函数 E⃗ \vec E 沿边界曲线（Γ=∂S\Gamma=\partial S），等于其旋度（\nabla\times \vec E\right\nabla\times \vec E\right）在曲面 S<script type="math/tex" id="MathJax-Element-155">S</script> 的二重积分；

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