写这个系列是为了逼自己总结

题目复盘

cosxcosxcosx正常按泰勒展开，答案将后面一项1−ax21-ax^{2}1−ax2系数单独提到因式外面来，然后对11−bx2\frac{1}{1-bx^{2}}1−bx21做泰勒展开，也可以，我是先把题给式子拆成cosx−11−bx2+ax21−bx2cosx-\frac{1}{1-bx^{2}}+\frac{ax^{2}}{1-bx^{2}}cosx−1−bx21+1−bx2ax2，然后按按无穷等比递降数列求和公式和泰勒公式展开得1−12x2+14!x4−16!x6−(1+(−bx2)+(−bx2)2+(−bx2)3)+ax2+abx4+ab2x61-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{4!}x^{4}-\frac{1}{6!}x^{6}-(1+(-bx^{2})+(-bx^{2})^{2}+(-bx^{2})^{3})+ax^{2}+abx^{4}+ab^{2}x^{6}1−21x2+4!1x4−6!1x6−(1+(−bx2)+(−bx2)2+(−bx2)3)+ax2+abx4+ab2x6，要让二次项和四次项系数为0即−12+b+a=0-\frac{1}{2}+b+a=0−21+b+a=0与14!−b2+ab=124−b(b+a)=0\frac{1}{4!}-b^{2}+ab=\frac{1}{24}-b(b+a)=04!1−b2+ab=241−b(b+a)=0把a+b=12a+b=\frac{1}{2}a+b=21带入就解出参数bbb，然后再解出参数aaa，然后就得出正确答案（关于什么是无穷等比递降数列求和公式，详见王谱老师“一减疯猴”法）。
用导数定义先看000点导数是否存在，经过计算得0，再用导数定义看0点二阶导数是否存在，经过计算为∞\infty∞，不存在，选出答案。
这题就考一个结论，lim⁡n→∞enx={0,x<0+∞,x>01,x=0\lim _{n \rightarrow \infty}\limits e^{n x}=\left\{\begin{array}{l} 0, x<0 \\ +\infty, x>0 \\ 1, x=0 \end{array}\right.n→∞limenx=⎩⎨⎧0,x<0+∞,x>01,x=0，知道这个就很容易写出f(x)f(x)f(x)的表达式，f(x)={x,x>0,0,x=0,−x,x<0.f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x, & x>0, \\ 0, & x=0, \\ -x, & x<0 . \end{array}\right.f(x)=⎩⎨⎧x,0,−x,x>0,x=0,x<0.，不难发现f(x)f(x)f(x)为偶函数，然后下面就用到另一个结论，变上限积分存在跳跃间断点才不可导，考研数学范围内变上限积分都是连续的，f(x)f(x)f(x)没有跳跃间断点，所以f(x)f(x)f(x)连续，然后又用到一个结论，连续函数 f(x)是奇 (偶) 函数 ⇒{F(x)=∫0xf(t)dt是偶 (奇) 函数, F(x)=∫axf(t)dt是偶函数 (a≠0,f(x)是偶函数, F(x)不一定是奇函数). \text { 连续函数 } f(x) \text { 是奇 (偶) 函数 } \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} F(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t \text { 是偶 (奇) 函数, } \\ F(x)=\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t \text { 是偶函数 }(a \neq 0, f(x) \text { 是 } \\ \text { 偶函数, } F(x) \text { 不一定是奇函数). } \end{array}\right. 连续函数 f(x) 是奇 (偶) 函数 ⇒⎩⎨⎧F(x)=∫0xf(t)dt 是偶 (奇) 函数, F(x)=∫axf(t)dt 是偶函数 (a=0,f(x) 是偶函数, F(x) 不一定是奇函数). ，这一看，下限是0，不用考虑不一定是奇函数的情况，所以F(x)F(x)F(x)是奇函数。
答案用的反证法，我是直接证，首先选项中问的是F+′′(a)F^{\prime \prime}_{+}(a)F+′′(a)和F−′′(b)F^{\prime \prime}_{-}(b)F−′′(b)的大小关系，那么先求F(x)F(x)F(x)的一阶导数，然后二阶导数用定义判断邻域内的情况即可，F′(x)=f(x)F^{\prime}(x)=f(x)F′(x)=f(x)，题中又告知f(x)f(x)f(x)在x=ax=ax=a处取得最小值，在x=bx=bx=b处取得最大值，则x∈(a,a+δ),F′(x)=f(x)≥f(a),x∈(b−δ,b),F′(x)=f(x)≤f(a),δx \in(a, a+\delta), F^{\prime}(x)=f(x) \geq f(a) , x \in(b-\delta, b), F^{\prime}(x)=f(x) \leq f(a) ,\deltax∈(a,a+δ),F′(x)=f(x)≥f(a),x∈(b−δ,b),F′(x)=f(x)≤f(a),δ是一个极小的数，故F+′′(a)=f+′′(a)=lim⁡x→a+f(x)−f(a)x−aF_{+}^{\prime \prime}(a)=f_{+}^{\prime \prime}(a)=\lim _{x \rightarrow a^{+}}\limits \frac{f(x)-f(a)}{x-a}F+′′(a)=f+′′(a)=x→a+limx−af(x)−f(a)，此时f(x)≥f(a)f(x)\geq f(a)f(x)≥f(a)即f(x)−f(a)≥0f(x)-f(a)\geq 0f(x)−f(a)≥0，x−a>0x-a>0x−a>0，所以F+′′(a)≥0F_{+}^{\prime \prime}(a)\geq 0F+′′(a)≥0，同理F−′′(b)=f−′′(b)=lim⁡x→b−f(x)−f(b)x−bF_{-}^{\prime \prime}(b)=f_{-}^{\prime \prime}(b)=\lim _{x \rightarrow b^{-}}\limits \frac{f(x)-f(b)}{x-b}F−′′(b)=f−′′(b)=x→b−limx−bf(x)−f(b)，此时f(x)≤f(b)f(x)\leq f(b)f(x)≤f(b)即f(x)−f(b)≤0f(x)-f(b)\leq 0f(x)−f(b)≤0，x−b<0x-b<0x−b<0，所以F−′′(b)≥0F_{-}^{\prime \prime}(b)\geq 0F−′′(b)≥0
模拟考试的时候，看到不等式f′(x)<f(x)f^{\prime}(x)<f(x)f′(x)<f(x)立刻开始构造辅助函数F(x)=e−xf(x)F(x)=\mathrm{e}^{-x}f(x)F(x)=e−xf(x)则F′(x)=e−x[f′(x)−f(x)]<0F^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{-x}\left[f^{\prime}(x)-f(x)\right]<0F′(x)=e−x[f′(x)−f(x)]<0，所以F(x)F(x)F(x)在题给区间范围内单调减少，然后我就没有仔细观察，在积分区间[0,1][0,1][0,1]上，按答案的做法，因为F(x)F(x)F(x)单调减少，则由F(0)=e0f(0)=1F(0)=\mathrm{e}^{0} f(0)=1F(0)=e0f(0)=1可知，当x∈(0,1)x \in(0,1)x∈(0,1)时，F(x)=e−xf(x)≤F(0)=1F(x) =\mathrm{e}^{-x}f(x)\leq F(0)=1F(x)=e−xf(x)≤F(0)=1，则f(x)≤exf(x) \leq \mathrm{e}^{x}f(x)≤ex，则∫01f(x)dx<∫01exdx=e−1\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x<\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x=\mathrm{e}-1∫01f(x)dx<∫01ex dx=e−1，这是答案的做法，我想到利用单调性，但是不等关系用错了，我用的是f′(x)<f(x)f^{\prime}(x)<f(x)f′(x)<f(x)，然后构造了一个∫01f(x)dx>∫01f′(x)dx=f(1)−f(0)=f(1)−1\int_{0}^{1} f(x) d x>\int_{0}^{1} f^{\prime}(x) d x=f(1)-f(0)=f(1)-1∫01f(x)dx>∫01f′(x)dx=f(1)−f(0)=f(1)−1这样的不等式，但是没法判断出大小关系，于是情急之下我就根据题目的不等式f′(x)<f(x)f^{\prime}(x)<f(x)f′(x)<f(x)取了特殊函数f(x)=e−xf(x)=\mathrm{e}^{-x}f(x)=e−x，f′(x)=−e−x<0<f(x)=e−xf^{\prime}(x)=-\mathrm{e}^{-x}<0<f(x)=\mathrm{e}^{-x}f′(x)=−e−x<0<f(x)=e−x也做出了答案（取e=2.7.....e=2.7.....e=2.7.....），还是按答案这个方法来，构造不等式不要太死板。
偏微分方程，先解出z(x,y)=?+c(y)z(x,y)=?+c(y)z(x,y)=?+c(y)，然后再把题目条件z(1,y)=sinyz(1,y)=sinyz(1,y)=siny带入得c(y)c(y)c(y)，然后再求偏导数，偏导数别求错，注意lnlnln求偏导数后里面要加绝对值，不算错就能得出答案。
根据题中图像，先找假设x=1x=1x=1处最上面的曲线是f(x)f(x)f(x)，观察它的单调性，找到一个与其单调性对应的图像（比如单调增加时，图像是正的，单调减少时图像是负的）就能确定f′(x)f^{\prime}(x)f′(x)，然后如法炮制，找到一个与f′(x)f^{\prime}(x)f′(x)单调性对应的图像（比如单调增加时，图像是正的，单调减少时图像是负的），确定f′′(x)f^{\prime\prime}(x)f′′(x)，找极值点就是一阶导数在邻域内变号的点，找拐点就是找二阶导数邻域内变号的点，找到就选出答案。
这题有意思，线性代数和高等数学结合的题目，由A2α+Aα−2α=(A2−A−2E)α=0\boldsymbol{A}^{2} \boldsymbol \alpha+\boldsymbol{A}\boldsymbol \alpha-2 \boldsymbol \alpha=(\boldsymbol{A}^{2}-\boldsymbol{A}-2\boldsymbol{E})\boldsymbol \alpha=0A2α+Aα−2α=(A2−A−2E)α=0，由于α\boldsymbol \alphaα是非零列向量且不是A\boldsymbol{A}A的特征向量，所以有λ2+λ−2=(λ−1)(λ+2)=0\lambda^{2}+\lambda-2=(\lambda-1)(\lambda+2)=0λ2+λ−2=(λ−1)(λ+2)=0，进而求出特征值为1,−21,-21,−2，所以矩阵A\boldsymbol{A}A至少有两个特征值1,−21,-21,−2，刚好f(x)=∣xE−A∣f(x)=|x \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|f(x)=∣xE−A∣是特征多项式，所以f(x)=(x−1)(x+2)(x−λ3)f(x)=(x-1)(x+2)(x-\lambda_{3})f(x)=(x−1)(x+2)(x−λ3)，又因为f(1)=0=f(−2)=0f(1)=0=f(-2)=0f(1)=0=f(−2)=0，由罗尔定理可知，至少存在一点x0∈(−2,1)x_{0}\in(-2,1)x0∈(−2,1)使得f′(x0)=0f^{\prime}(x_{0})=0f′(x0)=0，导数为0，切线斜率为0，即和xxx轴平行和yyy轴垂直，所以找一个和yyy轴平行的直线即为选项，故选择x=1x=1x=1.
**（A）和（B）选项太复杂，我模拟考试的时候先判断（C）和（D）选项，（D）选项非齐次方程组有唯一解，则系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩等于未知数个数3，系数矩阵的秩为3，所以齐次方程组仅有0解，（D）对，（C）选项齐次方程组有非0解说明系数矩阵的秩小于3，非齐次方程组不一定，系数矩阵的秩序小于3，增广矩阵（加一个向量进来以后）它还有可能是3，这样就出现系数矩阵的秩和增广矩阵的秩不相等的情况，这样就无解了，所以错误的是（C）选项，模拟考试的时候选出正确选项就结束了，接下来复盘（A）（B）选项如下：

网上有人说（A）选项是错的，后来我想想可能真是错的，题目没说α\boldsymbol \alphaα是非0向量，我就取成0向量也对，取成0向量（A）就错了，且ATx=0\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}ATx=0和(ATβT)x=0\left(\begin{array}{l} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \\ \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}} \end{array}\right) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}(ATβT)x=0不能同解，ATx=0\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}ATx=0的解的范畴比(ATβT)x=0\left(\begin{array}{l} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \\ \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}} \end{array}\right) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}(ATβT)x=0解的范畴大，因为(ATβT)x=0\left(\begin{array}{l} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \\ \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}} \end{array}\right) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}(ATβT)x=0新增了约束条件，所以这个题就看看吧，（A）选项可能真的是错的。
还是那个经典结论，再放一遍：知道nnn维实列向量α\boldsymbol{\alpha}α有这样的关系：αTα=C\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}=CαTα=C，CCC为非0常数，则矩阵ααT\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha^{\mathrm{T}}}ααT为实对称矩阵，其特征值为C,0,...,0C,0,...,0C,0,...,0，其可相似对角化于(c0...000...0⋮⋮⋱⋮0000)\begin{pmatrix} c & 0 & ...& 0\\ 0& 0 & ... &0\\ \vdots & \vdots& \ddots & \vdots \\ 0& 0& 0&0 \end{pmatrix}⎝⎛c0⋮000⋮0......⋱000⋮0⎠⎞，则r(ααT)=1r\left(\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}\right)=1r(ααT)=1，由此可知2ααT+ββT2 \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}2ααT+ββT是实对称矩阵，则Aα=(2ααT+ββT)α=2α(αTα)+β(βTα)=2α,Aβ=(2ααT+ββT)β=2α(αTβ)+β(βTβ)=β,\begin{array}{l} \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}=\left(2 \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}\right) \boldsymbol{\alpha}=2 \boldsymbol{\alpha}\left(\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}\right)+\boldsymbol{\beta}\left(\boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}\right)=2 \boldsymbol{\alpha}, \\ \boldsymbol{A} \boldsymbol{\beta}=\left(2 \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}\right) \boldsymbol{\beta}=2 \boldsymbol{\alpha}\left(\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\beta}\right)+\boldsymbol{\beta}\left(\boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\beta}\right)=\boldsymbol{\beta}, \end{array}Aα=(2ααT+ββT)α=2α(αTα)+β(βTα)=2α,Aβ=(2ααT+ββT)β=2α(αTβ)+β(βTβ)=β,，所以这个二次型矩阵有特征值2和1，由结论r(A+B)⩽r([A,B])⩽r(A)+r(B)r(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}) \leqslant r([\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}]) \leqslant r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{B})r(A+B)⩽r([A,B])⩽r(A)+r(B)可知，r(2ααT+ββT)⩽r(ααT)+r(ββT)=2<3r\left(2 \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}\right) \leqslant r\left(\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}\right)+r\left(\boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}\right)=2<3r(2ααT+ββT)⩽r(ααT)+r(ββT)=2<3，不满秩，说明行列式为0，则∣A∣=0=λ1λ2λ3=2×1×λ3|\boldsymbol{A}|=0=\lambda_{1} \lambda_{2} \lambda_{3}=2 \times 1 \times \lambda_{3}∣A∣=0=λ1λ2λ3=2×1×λ3，则λ3=0\lambda_{3}=0λ3=0，特征值两正没有负，正惯性指数为2，直接选出答案，但是我没这么麻烦，我直接将两个向量取成(1,0,0)和(0,1,0)一样得到了结果，选择题就是要快，上面那个答案给出的是严格证明过程，要是出解答题可以直接写。
还是用到那个结论，lim⁡n→∞enx={0,x<0+∞,x>01,x=0\lim _{n \rightarrow \infty}\limits e^{n x}=\left\{\begin{array}{l} 0, x<0 \\ +\infty, x>0 \\ 1, x=0 \end{array}\right.n→∞limenx=⎩⎨⎧0,x<0+∞,x>01,x=0，然后画f(x+1)f(x+1)f(x+1)的图像（左加右减平移）就知道哪里是间断点了。
参数方程缝了个隐函数，注意别求错了就行，这个用公式一：y′′=d(dydx)/dtdx/dty^{\prime \prime}=\frac{d\left(\frac{d y}{d x}\right) / d t}{d x / d t}y′′=dx/dtd(dxdy)/dt不好求，用公式二：y′′=y′′(t)x′(t)−x′′(t)y′(t)[x′(t)]3y^{\prime \prime}=\frac{y^{\prime \prime}(t) x^{\prime}(t)-x^{\prime \prime}(t) y^{\prime}(t)}{\left[x^{\prime}(t)\right]^{3}}y′′=[x′(t)]3y′′(t)x′(t)−x′′(t)y′(t)比较好算，别算错就行。
数列连续化成函数，求最小值就是求分子最大值，然后求得最大值点是eee，但是原数列要取整数，2<e<32<e<32<e<3，eee大约是2.7左右，所以更靠近3，数列最小项是a(3)a(3)a(3).
无穷区间旋转体体积，广义的体积，用表格积分法就算出来了（表格积分法详见：武忠祥老师讲表格积分法，这个方法是陈文灯大师引入考研数学的）
一阶微分方程，化成积分因子的形式好算，只是lnlnln里面套lnlnln的积分有点恶心，容易套晕
***这题我马虎了，这一看，α1,α2,α3\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\boldsymbol{\alpha}_{3}α1,α2,α3线性无关，且α4=α1−α2+α3\boldsymbol{\alpha}_{4}=\boldsymbol{\alpha}_{1}-\boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}α4=α1−α2+α3则r(A)=3r(\boldsymbol{A})=3r(A)=3，说明Ax=0\boldsymbol{A}x=0Ax=0有n−r(A)=4−3=1n-r(\boldsymbol{A})=4-3=1n−r(A)=4−3=1个线性无关的解向量，基础解析只有一个解，直接改写成α1−α2+α3−α4=0\boldsymbol{\alpha}_{1}-\boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}-\boldsymbol{\alpha}_{4}=0α1−α2+α3−α4=0就得出一个通解k(1,−1,1,−,1)Tk(1,-1,1,-,1)^{T}k(1,−1,1,−,1)T，然后β=α2+α3+α4\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}+\boldsymbol{\alpha}_{4}β=α2+α3+α4直接得出特解(0,1,1,1)T(0,1,1,1)^{T}(0,1,1,1)T，最后非齐次方程的通解为k(1,−1,1,−,1)T+(0,1,1,1)Tk(1,-1,1,-,1)^{T}+(0,1,1,1)^{T}k(1,−1,1,−,1)T+(0,1,1,1)T,kkk为任意常数，我就忘了写这个任意常数，还是马虎了，以后做题要认真。
***这题我做错了，这题有坑，以后遇到enxe^{nx}enx、xnx^{n}xn、x2nx^{2n}x2n和axa^{x}ax记得讨论定义域和参数aaa，我就是没讨论直接做的，重新复盘如下：

对于这种题以后记得讨论一下参数就可以了，这个坑实在是挖的好，我就没讨论参数失分了。
这个一看f(x)f(y)=f(x+y)f(x)f(y)=f(x+y)f(x)f(y)=f(x+y)，就凑导数定义f(x)f(△x)=f(x+△x)f(x)f(\bigtriangleup x)=f(x+\bigtriangleup x)f(x)f(△x)=f(x+△x)的形式，题目没说f(x)f(x)f(x)连续，所以不能从极限子推出f(0)=1f(0)=1f(0)=1，但是可以写导数定义即f(x)f(△x)=f(x+△x)f(x)f(\bigtriangleup x)=f(x+\bigtriangleup x)f(x)f(△x)=f(x+△x)等式两边除△x\bigtriangleup x△x取极限即可，然后解微分方程发现f(x)=Ce−xf(x)=Ce^{-x}f(x)=Ce−x，这一看就是初等函数，初等函数必连续，然后才可以用连续去说明f(0)=1f(0)=1f(0)=1进而解方程，第二问注意一下不可导点也可能是极值点。
***这题我算错了，这题算错算得很搞笑，有一个步骤分子分母抄反了，改正后如下：

以后不要再计算失误了，秋梨膏。
二重积分，画图取极坐标就行，后面凑微分要凑出d(1+r2cos2θ)d (1+r^{2}cos2\theta )d(1+r2cos2θ)的形式，我就先凑的d(r2)d (r^{2} )d(r2)然后做麻烦了，不过最后也算对了，以后注意计算的技巧性。
***这题我没做出来，这题太抽象了，我本来高中物理就学的不好，出题人还给我安排了个这么难的物理应用题，重新复盘如下：

这物理应用题对我这种物理不好的人真的折磨。
第一问，线性表示且表示法不唯一就是非齐次方程组有无穷多解，所以系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩小于未知数个数（方阵，未知数个数就是阶数），系数矩阵行列式为0，然后求出两个参数，一个让系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，无解，不符合条件舍弃，另一个经过验证刚好满足条件，我个人喜欢利用行列式为0这个条件最后验证求参数，因为我不喜欢答案那个初等变换定参数的方法，容易算错，因人而异，求出的解就是线性表示的系数，别忘了k为任意常数，第二问就是简单的二次型通过正交变换化标准型，注意别求错特征向量就行，特征向量求出来刚好正交，单位化就行。

总结

这套卷做的还行，就是以后注意计算，别算错了，也要注意技巧，还有两个月，我要稳下来，接下来看看英语和专业课，Zheng zhi那个学科抽空看看。

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