matlab计算方法实验指导误差分析

实验一 误差分析实验 1(病态问题)实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”与“坏”之别。对数值方法的研究而言，所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者，反之属于好问题。通过本实验可获得一个初步体会。数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价(如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等) 。问题提出：考虑一个高次的代数多项式 )1.()()20()(1)( 1kxxxp显然该多项式的全部根为 1,2,…,20 共计 20 个，且每个根都是单重的。现考虑该多项式的一个扰动 )2.1(0)(19xp其中 是一个非常小的数。这相当于是对(1.1)中 的系数作一个小的扰动。 19x我们希望比较(1.1)和(1.2)根的差别，从而分析方程(1.1)的解对扰动的敏感性。实验内容：为了实现方便，我们先介绍两个 MATLAB 函数：“roots” 和“poly”。 rots(a)u其中若变量 a 存储 n+1 维的向量，则该函数的输出 u 为一个 n 维的向量。设 a的元素依次为 ，则输出 u 的各分量是多项式方程121,n 01nnaxx的全部根；而函数poly(v)b的输出 b 是一个 n+1 维向量，它是以 n 维向量 v 的各分量为根的多项式的系数。可见“roots” 和“poly” 是两个互逆的运算函数。 )20:1(;),;.vepolyrtsevzs上述简单的 MATLAB 程序便得到(1.2)的全部根，程序中的 “ess”即是(1.2)中的 。实验要求：(1)选择充分小的 ess，反复进行上述实验，记录结果的变化并分析它们。如果扰动项的系数 很小，我们自然感觉(1.1)和(1.2)的解应当相差很小。计算中你有什么出乎意料的发现？表明有些解关于如此的扰动敏感性如何？(2)将方程(1.2)中的扰动项改成 或其它形式，实验中又有怎样的现18x象出现？(3)(选作部分)请从理论上分析产生这一问题的根源。注意我们可以将方程(1.2)写成展开的形式，)3.1(0),(1920xxp同时将方程的解 x 看成是系数 的函数，考察方程的某个解关于 的扰动是否敏感，与研究它关于 的导数的大小有何关系？为什么？你发现了什么现象，哪些根关于 的变化更敏感？思考题一：(上述实验的改进)在上述实验中我们会发现用 roots 函数求解多项式方程的精度不高，为此你可以考虑用符号函数 solve 来提高解的精确度，这需要用到将多项式转换为符号多项式的函数 poly2sym,函数的具体使用方法可参考 MATLAB 的帮助。思考题二：(二进制产生的误差)用 MATLAB 计算 。结果居然有误差！因为从十进制数角度分析，10.10i这一计算应该是准确的。实验反映了计算机内部的二进制本质。思考题三：(一个简单公式中产生巨大舍入误差的例子)可以用下列式子计算自然对数的底数nne)1(lim1这个极限表明随着 n 的增加，计算 e 值的精度是不确定的。现编程计算与 exp(1)值的差。n 大到什么程度的时候误差最大？你能解释其nf)()中的原因吗？相关 MATLAB 函数提示：poly(a) 求给定的根向量 a 生成其对应的多项式系数(降序)向量roots(p) 求解以向量 p 为系数的多项式(降序)的所有根poly2sym(p) 将多项式向量 p 表示成为符号多项式(降序)sym(arg) 将数字、字符串或表达式 arg 转换为符号对象syms arg1 arg2 argk 将字符 arg1,arg2,argk 定义为基本符号对象solve( eq1 ) 求符号多项式方程 eq1 的符号解实验二 非线性方程求根实验 2(迭代法、初始值与收敛性)实验目的：初步认识非线性问题的迭代法与线性问题迭代法的差别，探讨迭代法及初始值与迭代收敛性的关系。问题提出：迭代法是求解非线性方程的基本思想方法，与线性方程的情况一样，其构造方法可以有多种多样，但关键是怎样才能使迭代收敛且有较快的收敛速度。实验内容：考虑一个简单的代数方程012x针对上述方程，可以构造多种迭代法，如 )1.7(21n 2.1nnx)3.7(1n在实轴上取初始值 x0，请分别用迭代(7.1)-(7.3)作实验，记录各算法的迭代过程。实验要求：(1)取定某个初始值，分别计算(7.1)-(7.3)迭代结果，它们的收敛性如何？重复选取不同的初始值，反复实验。请自选设计一种比较形象的记录方式(如利用 MATLAB 的图形功能) ，分析三种迭代法的收敛性与初值选取的关系。(2)对三个迭代法中的某个，取不同的初始值进行迭代，结果如何？试分析迭代法对不同的初值是否有差异？(3)线性方程组迭代法的收敛性是不依赖初始值选取的。比较线性与非线性问题迭代的差异，有何结论和问题。思考题一：用 Newton 法求方程 013x在区间[-3,3]上误差不大于 的根，分别取初值 进行计算，比较510 1,5.它们的迭代次数。相关 MATLAB 函数提示：x=fzero(fun,x0) 返回一元函数 fun 的一个零点，其中 fun 为函数句柄，x0 为标量时，返回在 x0 附近的零点；x0 为向量[a,b]时，返回函数在[a,b]中的零点[x,f,h]=fsolve(fun,x0) 返回一元或多元函数 x0 附近 fun 的一个零点，其中 fun为函数句柄，x0 为迭代初值；f 返回 fun 在 x 的函数值，应该接近 0； h 返回值如果大于 0，说明计算结果可靠，否则不可靠实验三 解线性方程组的迭代法实验 3.1(病态的线性方程组的求解)问题提出：理论的分析表明，求解病态的线性方程组是困难的。实际情况是否如此，会出现怎样的现象呢？实验内容：考虑方程组 Hx=b 的求解，其中系数矩阵 H 为 Hilbert 矩阵，njijihHjinji ,21,1,)(,, 这是一个著名的病态问题。通过首先给定解(例如取为各个分量均为 1)再计算出右端 b 的办法给出确定的问题。实验要求：(1)选择问题的维数为 6，分别用 Gauss 消去法、J 迭代法、GS 迭代法和 SOR 迭代法求解方程组，其各自的结果如何？将计算结果与问题的解比较，结论如何？(2)逐步增大问题的维数，仍然用上述的方法来解它们，计算的结果如何？计算的结果说明了什么？思考题一：讨论病态问题求解的算法Jacobi 迭代法与 Gauss-seidel 迭代法的比较：用 Jacobi 迭代法与 Gauss-seidel 迭代法解下列方程组：(1) 1752301x(2) 5.2015.0.3取 ，你能得出什么结论？6)0( 1,)Tx思考题二：SOR(超松驰)迭代法松驰因子对收敛性及速度的影响试用 SOR(超松驰)迭代法求解下列方程组： 2430410331x取 ，选择松驰因子 0.8,0.