高校数学建模竞赛与课程SZ教育

题目叙述

模型的建立与求解

研究现状

层次分析加数据可视化图表
相比其他大学数学课程，数学建模的教学内容和教学过程包含了更多sz元素。原因之一是其教学内容主要来源于学生们感同身受的实际生活，因而容易得到学生的认同;另一方面，数学建模的教学要求学生们亲自动手进行实践，克服了其他数学教学环节纸上谈兵的弊端，容易使sz思想深入人心。数学建模在sz教育中的独特作用体现在以下几个方面。
理想的数学模型往往不是一蹴而就的，是通过千难万苦不断试错和检验，才最终被抽象概括出来，形成在工程技术领域应用广泛的数学模型。例如英国经济学家马尔萨斯于1798年提出了人口按照几何级数增长的人口模型。荷兰生物学家韦吕勒在19世纪中叶发展了马尔萨斯模型，提出来了一种阻滞增长模型，更加客观地描述人口和许多物种数量的变化规律。如今，传染病研究人员为了利用人口理论研究传染病的传播，进一步发展了韦吕勒的结果，使得这一理论得到进一步发展。
建模求解过程需要学生综合运用数学知识、计算机编程、信息搜索等过程来得到数学模型的解，是整个数学建模过程最有传统数学味道的过程。由于数学建模实践作业或者竞赛往往有时间限制，学生们要在速度和准确性之间达到平衡，太慢了无法在规定时间完成项目，而一味追求速度，则可能在中间换接出错，导致所有建模过程从头再来。通过数学建模的求解过程，学生们能够体会到欲速则不达的道理，踏踏实实，一步一个脚印地推进项目的进展，在这个过程中培养自己的耐心和毅力。

发展趋势

灰色预测

程序代码

from decimal import *class GM11():def __init__(self):self.f = Nonedef isUsable(self, X0):'''判断是否通过光滑检验'''# 条件判断及循环X1 = X0.cumsum()rho = [X0[i] / X1[i - 1] for i in range(1, len(X0))]rho_ratio = [rho[i + 1] / rho[i] for i in range(len(rho) - 1)]print("rho:", rho)print("rho_ratio:", rho_ratio)flag = Truefor i in range(2, len(rho) - 1):if rho[i] > 0.5 or rho[i + 1] / rho[i] >= 1:flag = Falseif rho[-1] > 0.5:flag = Falseif flag:print("数据通过光滑校验")else:print("该数据未通过光滑校验")'''判断是否通过级比检验'''lambds = [X0[i - 1] / X0[i] for i in range(1, len(X0))]X_min = np.e ** (-2 / (len(X0) + 1))X_max = np.e ** (2 / (len(X0) + 1))for lambd in lambds:if lambd < X_min or lambd > X_max:print('该数据未通过级比检验')returnprint('该数据通过级比检验')def train(self, X0):X1 = X0.cumsum()Z = (np.array([-0.5 * (X1[k - 1] + X1[k]) for k in range(1, len(X1))])).reshape(len(X1) - 1, 1)# 数据矩阵A、BA = (X0[1:]).reshape(len(Z), 1)B = np.hstack((Z, np.ones(len(Z)).reshape(len(Z), 1)))# 求灰参数a, u = np.linalg.inv(np.matmul(B.T, B)).dot(B.T).dot(A)u = Decimal(u[0])a = Decimal(a[0])print("灰参数a：", a, "，灰参数u：", u)self.f = lambda k: (Decimal(X0[0]) - u / a) * np.exp(-a * k) + u / adef predict(self, k):X1_hat = [float(self.f(k)) for k in range(k)]X0_hat = np.diff(X1_hat)X0_hat = np.hstack((X1_hat[0], X0_hat))return X0_hatdef evaluate(self, X0_hat, X0):'''根据后验差比及小误差概率判断预测结果:param X0_hat: 预测结果:return:'''S1 = np.std(X0, ddof=1)  # 原始数据样本标准差S2 = np.std(X0 - X0_hat, ddof=1)  # 残差数据样本标准差C = S2 / S1  # 后验差比Pe = np.mean(X0 - X0_hat)temp = np.abs((X0 - X0_hat - Pe)) < 0.6745 * S1p = np.count_nonzero(temp) / len(X0)  # 计算小误差概率print("原数据样本标准差：", S1)print("残差样本标准差：", S2)print("后验差比：", C)print("小误差概率p：", p)if __name__ == '__main__':import matplotlib.pyplot as pltimport numpy as npplt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 步骤一（替换sans-serif字体）plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 步骤二（解决坐标轴负数的负号显示问题）# 原始数据XX = np.array([21.2, 22.7, 24.36, 26.22, 28.18, 30.16, 32.34, 34.72, 37.3, 40.34, 44.08, 47.92, 51.96, 56.02, 60.14,64.58,68.92, 73.36, 78.98, 86.6])# 训练集X_train = X[:int(len(X) * 0.7)]# 测试集X_test = X[int(len(X) * 0.7):]model = GM11()model.isUsable(X_train)  # 判断模型可行性model.train(X_train)  # 训练Y_pred = model.predict(len(X))  # 预测Y_train_pred = Y_pred[:len(X_train)]Y_test_pred = Y_pred[len(X_train):]score_test = model.evaluate(Y_test_pred, X_test)  # 评估# 可视化plt.grid()plt.plot(np.arange(len(X_train)), X_train, '->')plt.plot(np.arange(len(X_train)), Y_train_pred, '-o')plt.legend(['授课人数实际值', '灰色预测模型预测值'])plt.title('训练集')plt.show()plt.grid()plt.plot(np.arange(len(X_test)), X_test, '->')plt.plot(np.arange(len(X_test)), Y_test_pred, '-o')plt.legend(['授课人数实际值', '灰色预测模型预测值'])plt.title('测试集')plt.show()

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