【方法】关于递推式的公式求法

这题来自NOIP2017提高初赛题

设函数 f n = ( f n − 1 + f n − 2 ) / 2 f_n=(f_{n-1}+f_{n-2})/2 fn=(fn−1+fn−2)/2
f 1 = 0 , f 2 = 1 f_1=0,f_2=1 f1=0,f2=1
求 f n f_n fn的递推式，

有一个很辣鸡但很清真的方法：
如果我们把式子表示成： f n + a ∗ f n − 1 = k ( f n − 1 + a ∗ f n − 2 ) f_n+a*f_{n-1}=k(f_{n-1}+a*f_{n-2}) fn+a∗fn−1=k(fn−1+a∗fn−2)
那是不是就是一个等比数列啦~（ g n = k ∗ g n − 1 g_n=k*g_{n-1} gn=k∗gn−1）

来看看a,k这两个系数是啥，
f n + a ∗ f n − 1 = ( 0.5 + a ) ∗ f n − 1 + 0.5 ∗ f n − 2 f_n+a*f_{n-1}=(0.5+a)*f_{n-1}+0.5*f_{n-2} fn+a∗fn−1=(0.5+a)∗fn−1+0.5∗fn−2
设方程（两边对应的比值相等）
1 0.5 + a = a 0.5 \frac{1}{0.5+a}=\frac{a}{0.5} 0.5+a1=0.5a

解得： a 1 = 0.5 , a 2 = − 1 a_1=0.5\ ,\ a_2=-1 a1=0.5 , a2=−1

所以：
f n + 0.5 f n − 1 = ( f n − 1 + 0.5 ∗ f n − 2 ) f_n+0.5f_{n-1}=(f_{n-1}+0.5*f_{n-2}) fn+0.5fn−1=(fn−1+0.5∗fn−2)
f n − f n − 1 = − 0.5 ∗ ( f n − 1 − f n − 2 ) f_n-f_{n-1}=-0.5*(f_{n-1}-f_{n-2}) fn−fn−1=−0.5∗(fn−1−fn−2)

又因为： f 1 = 0 , f 2 = 1 f_1=0,f_2=1 f1=0,f2=1
所以:
f n + 0.5 f n − 1 = 1 f_n+0.5f_{n-1}=1 fn+0.5fn−1=1
f n − f n − 1 = ( − 1 2 ) n − 1 f_n-f_{n-1}=(-\frac{1}{2})^{n-1} fn−fn−1=(−21)n−1

消去 f n − 1 f_{n-1} fn−1： f n = 2 + ( − 1 2 ) n − 1 3 f_n=\frac{2+(-\frac{1}{2})^{n-1}}{3} fn=32+(−21)n−1

【方法】关于递推式的公式求法相关推荐

【组合数学】二项式定理与组合恒等式 ( 二项式定理 | 三个组合恒等式递推式 | 递推式 1 | 递推式 2 | 递推式 3 帕斯卡/杨辉三角公式 | 组合分析方法 | 递推式组合恒等式特点 )
文章目录一.二项式定理二.组合恒等式 ( 递推式 1 ) 三.组合恒等式 ( 递推式 2 ) 四.组合恒等式 ( 递推式 3 ) 帕斯卡 / 杨辉三角公式五.组合分析方法六.递推式组合恒等式特 ...
【笔记】从递推式得到通项公式的几种方法
开头瞎扯数列这玩意在竞赛中考的不少,可以变形一些式子,所以做一个小总结如果题目中出现了一个数列的式子,将其化为通项公式有可能可以快速求解或者是便于题目变形并发现题目性质解题套路对于大部分情况来 ...
分治法分治法求解递推式
分治法分治法基本就是下面的三步分(divide):无法有效解决的划分更小的问题治(conquer):递归求每一个子问题的解合(combine):合并解得出原问题解 MergeSort:排列 1 ...
算法分析中递推式的一般代数解法
算法分析中经常遇到需要求解递推式的情况,即将递推式改写为等价的封闭形式.例如汉诺塔问题的时间复杂度递推形式为T(n)=2T(n−1)+1(n≥1)T(n)=2T(n−1)+1(n≥1),可以解出封闭形 ...
[递推式求解、多指针、前缀和]XATU第七届算法大赛
文章目录赛后感想 1.2题略 3 乐华水上梦幻乐园之拖鞋失踪案[概率论.递推式求解] 题意分析代码 4.5.6.7.8题略 9 Ugly Number[多指针] 题意做法1[BFS with ...
虽说是递推式，但我还是觉得是逆推法
母牛的故事 Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others) Total Subm ...
(递推)常用递推式总结及实现
常用递推式后面问题的解可以由前面问题的解递推而来,每一项都与前面若干项有一定关联.它是一种用若干步可以重复的简单运算来描述复杂问题的方法. 爬楼梯和兔子问题和斐波那契: f ( n ) = f ( ...
CCF201809-5线性递推式
试题编号: 201809-5 试题名称: 线性递推式时间限制: 1.0s 内存限制: 256.0MB 问题描述: 样例输入 3 3 6 2 0 4 样例输出 12 32 80 208 样例说明样例 ...
递推最小二乘法RLS公式详细推导
递推最小二乘法RLS公式详细推导整理递推最小二乘法推导过程自我整理. 递推最小二乘估计(RLS)作为一种估计方式是在最小二乘法(LS)的基础上发展来的. 最小二乘法可以解决的问题是不需要知道先验的概 ...

【方法】关于递推式的公式求法

【方法】关于递推式的公式求法相关推荐

最新文章

热门文章