离散信号（一） | 信号的采样和恢复+时域、频域采样定理

离线信号是指在时间上是离散的，即只在某些不连续的规定时刻给出信号的瞬时值，而在其它时刻无意义的信号。连续时间信号的采样是离散信号产生的方法之一，而计算机技术的发展以及数字技术的广泛应用是离散信号分析、处理理论和方法迅速发展的动力。

离散信号的时域描述和分析

1. 信号的采样和恢复

理想化的采样过程是一个将连续信号进行脉冲调制的过程，即xs(t)x_s(t)xs(t)表示为连续信号x(t)x(t)x(t)与周期性冲激串δT(t)=∑n=−∞∞δ(t−nTn)\delta_T(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_n)δT(t)=∑n=−∞∞δ(t−nTn)的乘积：
xs(t)=x(t)δT(t)=x(t)=∑n=−∞∞δ(t−nTs)=∑−∞∞x(nTs)δ(t−nTs)x_s(t)=x(t)\delta_T(t)=x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_s)=\sum_{-\infty}^{\infty}x(nT_s)\delta(t-nT_s) xs(t)=x(t)δT(t)=x(t)=n=−∞∑∞δ(t−nTs)=−∞∑∞x(nTs)δ(t−nTs)
xs(t)x_s(t)xs(t)是经过采样处理后时间上离散化而幅值上仍然连续变化的信号，必须经过幅值上量化、编码处理等离散取值后才能成为数字信号。

一个连续信号离散化后，有两个问题需要讨论：（1）采样得到的信号xs(t)x_s(t)xs(t)在频域上有什么特性，它与原连续信号x(t)x(t)x(t)的频域特性有什么联系？（2）连续信号采样后，它是否保留了原信号的全部信息，或者说，从采样的信号xs(t)x_s(t)xs(t)能否无失真地恢复原连续信号x(t)x(t)x(t)?

设连续信号x(t)x(t)x(t)的傅里叶变换为X(w)X(w)X(w)，采样后离散信号xs(t)x_s(t)xs(t)的傅里叶变换为Xs(w)X_s(w)Xs(w)，已知周期性冲激串δT(t)\delta_T(t)δT(t)的傅里叶变换为P(w)=ws∑n=−∞∞δ(w−nws)P(w)=w_s\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(w-nw_s)P(w)=ws∑n=−∞∞δ(w−nws)，由傅里叶变换的频域卷积定理，有
Xs(w)=12πX(w)∗P(w)X_s(w)=\frac{1}{2\pi}X(w)*P(w) Xs(w)=2π1X(w)∗P(w)
将P(w)P(w)P(w)代入上式，并按卷积运算的性质化简后得到抽样信号xs(t)x_s(t)xs(t)的傅里叶变换为
Xs(w)=1Ts∑n=−∞∞X(w−nws)(1)X_s(w)=\frac{1}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{\infty}X(w-nw_s) \tag{1} Xs(w)=Ts1n=−∞∑∞X(w−nws)(1)
式（1）表明，一个连续信号经理想采样后频谱发生了两个变化：

1）频谱发生了周期延拓，即将原连续信号的频谱X(w)X(w)X(w)分别延拓到以±ws,±2ws,…\pm w_s,\pm 2w_s,\dots±ws,±2ws,…为中心的频谱，其中wsw_sws为采样角频率。

2）频谱的幅度乘上了一个1/Ts1/T_s1/Ts因子，其中TsT_sTs为采样周期。

2. 时域采样定理

对于频谱函数只在有限区间(−wm,wm)(-w_m,w_m)(−wm,wm)为有限值的频谱受限信号x(t)x(t)x(t)，为了将它的抽样信号xs(t)x_s(t)xs(t)恢复为原连续信号，只要对抽样信号施以截止频率为w≥wmw\geq w_mw≥wm的理想低通滤波，这时在频域上得到与x(t)x(t)x(t)的频谱X(w)X(w)X(w)完全一样的频谱（幅度的变化很容易实现）。对应地，在时域上也就完全恢复了原连续信号x(t)x(t)x(t)。从图中可以看出，上述连续信号恢复过程是在ws≥wmw_s\geq w_mws≥wm的前提下实现的，也即采样频率至少为原连续信号所含最高频率成分的2倍时实现的。这时，就能够无失真地从抽样信号中恢复原连续信号，或者说，采样过程完全保留了原信号的全部信息。

当ws<2wmw_s<2w_mws<2wm时，在频域就会出现频谱混叠现象。施以理想低通滤波后不能得到与X(w)X(w)X(w)完全一样的频谱。可以想象，在时域也就不能无失真地恢复原连续信号x(t)x(t)x(t)。

由此，得出关于采样频率如何取的结论，这就是著名的时域采样定理（香农定理）：

对于频谱受限的信号x(t)x(t)x(t)，如果其最高频率分量为wmw_mwm，为了保留原信号的全部信息，或能无失真地恢复原信号，在通过采样得到离散信号时，其采样频率应满足ws≥2wmw_s\geq 2w_mws≥2wm。通常把最低允许的采样频率ws=2wmw_s=2w_mws=2wm称为奈奎斯特（Nyquist）频率。

为了从抽样信号xs(t)x_s(t)xs(t)中恢复原信号x(t)x(t)x(t)，可将抽样信号的频谱Xs(w)X_s(w)Xs(w)乘上幅度为TsT_sTs的矩形窗信号
G(w)={Ts∣w∣≤ws/20∣w∣>ws/2G(w)= \begin{cases} T_s & |w|\leq w_s/2 \\ 0 & |w|>w_s/2 \end{cases} G(w)={Ts0∣w∣≤ws/2∣w∣>ws/2
它将原信号的频谱X(w)X(w)X(w)从Xs(w)X_s(w)Xs(w)中完整地提取出来，即
X(w)=Xs(w)G(w)X(w)=X_s(w)G(w) X(w)=Xs(w)G(w)
根据傅里叶时域卷积性质，有
x(t)=xs(t)∗g(t)x(t)=x_s(t)*g(t) x(t)=xs(t)∗g(t)
而从表2-2可知
g(t)=Sa(ws2t)g(t)=Sa(\frac{w_s}{2}t) g(t)=Sa(2wst)
所以求得
x(t)=∑n−∞∞x(nTs)δ(t−nTs)∗Sa(ws2t)=∑n=−∞∞x(nTs)Sa(ws2(t−nTs))x(t)=\sum_{n-\infty}^{\infty}x(nT_s)\delta(t-nT_s)*Sa(\frac{w_s}{2}t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT_s)Sa(\frac{w_s}{2}(t-nT_s)) x(t)=n−∞∑∞x(nTs)δ(t−nTs)∗Sa(2wst)=n=−∞∑∞x(nTs)Sa(2ws(t−nTs))
如果正好取wm=12wsw_m=\frac{1}{2}w_swm=21ws，则有
x(t)=∑−∞∞x(nTs)Sa[wm(t−nTs)]=∑n=−∞∞x(nTs)sinwm(t−nTs)wm(t−nTs)(2)x(t)=\sum_{-\infty}^{\infty}x(nT_s)Sa[w_m(t-nT_s)]=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT_s)\frac{sinw_m(t-nT_s)}{w_m(t-nT_s)} \tag{2} x(t)=−∞∑∞x(nTs)Sa[wm(t−nTs)]=n=−∞∑∞x(nTs)wm(t−nTs)sinwm(t−nTs)(2)
上式说明，如果知道连续时间信号的最高角频率wmw_mwm，则在采样频率ws≥2wmw_s\geq 2w_mws≥2wm的条件下，把各抽样样本值x(nTs)x(nT_s)x(nTs)代入式（2），就能无失真地求得原信号x(t)x(t)x(t)。原信号的恢复过程可用下图表示。

由于x(nT)Sa[wm(t−nTs)]x(nT)Sa[w_m(t-nT_s)]x(nT)Sa[wm(t−nTs)]是一个以nT为中心呈偶对称的衰减正弦函数，除中心点为峰值外，还具有等间隔的过零点，可以求得，该间隔正好是采样间隔TsT_sTs，因此在某一采样时刻（例如t=3Tst=3T_st=3Ts），除了取峰值为1的Sa[wm(t−nT)]Sa[w_m(t-nT)]Sa[wm(t−nT)]（例如n=3）外，其它各Sa[wm(t−nT)]Sa[w_m(t-nT)]Sa[wm(t−nT)]（例如n≠3n\neq 3n=3）均为零，所以有x(t)=x(nTs)x(t)=x(nT_s)x(t)=x(nTs)（例如n=3），即每个采样时刻能给出准确的x(t)x(t)x(t)值，而非采样时刻，式（2）中的各项均不为零，样本点之间任意时刻的x(t)x(t)x(t)由无限项的和决定，所以通常把式（2）称为恢复连续时间信号的内插公式。

时域采样定理表明，为了保留原连续信号某一频率分量的全部信息，至少对该频率分量一个周期采样两次。由此可以理解为对于快变信号要提高采样频率，但是并不能认为采样频率越高越好，采样频率过大，一方面会增加计算机内存的占用量，另一方面还会造成采样过程不稳定。

对于不是带限的信号，或者频谱在高频段衰减较慢的信号，可以根据实际的情况采用抗混叠滤波器来解决。即在采样前，用一截止频率为wcw_cwc的低通滤波器对信号x(t)x(t)x(t)进行抗混叠滤波，将不需要的或不重要的高频成分去除，然后再进行采样和数据处理。

3. 频域采样定理

与时域采样定理相对应，对于一个具有连续频谱的信号，如果在频域进行采样，也存在一个是否能准确地恢复原信号连续频谱的问题。先考虑原时域信号x(t)x(t)x(t)的频谱为X(w)X(w)X(w)，即
x(t)↔FX(w)x(t) \overset{F}{\leftrightarrow} X(w) x(t)↔FX(w)
对X(w)X(w)X(w)在频域的采样，同样可视为一个将X(w)X(w)X(w)进行频域冲激串调制的过程，即
Xp(w)=X(w)P(w)(1)X_p(w)=X(w)P(w) \tag{1} Xp(w)=X(w)P(w)(1)
其中p(w)=∑k=−∞∞δ(w−kw0)p(w)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(w-kw_0)p(w)=∑k=−∞∞δ(w−kw0)，是采样间隔为w0=2πT0w_0=\frac{2\pi}{T_0}w0=T02π的频域单位冲激串，它所对应的时域信号为
p(t)=1w0∑k=−∞∞δ(t−kT0)p(t)=\frac{1}{w_0}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(t-kT_0) p(t)=w01k=−∞∑∞δ(t−kT0)
由傅里叶变换的时域卷积性质，式（1）对应的时域形式为
xp(t)=x(t)∗1w0∑k=−∞∞δ(t−kT0)=1w0∑k=−∞∞x(t−kT0)(2)x_p(t)=x(t)*\frac{1}{w_0}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(t-kT_0)=\frac{1}{w_0}\sum_{k=-\infty}^{\infty}x(t-kT_0) \tag{2} xp(t)=x(t)∗w01k=−∞∑∞δ(t−kT0)=w01k=−∞∑∞x(t−kT0)(2)
上式的推导用到任意函数与冲激函数卷积的式子：x(t)∗δ(t−t0)=x(t−t0)x(t)*\delta(t-t_0)=x(t-t_0)x(t)∗δ(t−t0)=x(t−t0)。式（2）表明当信号频谱X(w)X(w)X(w)以w0w_0w0的采样间隔进行采样，它对应的时域信号xp(t)x_p(t)xp(t)是以T0T_0T0为周期对原信号x(t)x(t)x(t)进行周期延拓，当然信号的幅度要乘上1w0\frac{1}{w_0}w01的因子，如下图所示。这一结论与时域信号的采样完全形成对偶关系。

x(t)={x(t)∣t∣≤tm0∣t∣>tmx(t)= \begin{cases} x(t) & |t|\leq t_m \\ 0 & |t| > t_m \end{cases} x(t)={x(t)0∣t∣≤tm∣t∣>tm
只有当T0≥2tmT_0\geq 2t_mT0≥2tm或w0≤2πtmw_0 \leq \frac{2\pi}{t_m}w0≤tm2π时，xp(t)x_p(t)xp(t)不会发生波形混叠，有可能从xp(t)x_p(t)xp(t)中不失真地截取出原信号x(t)x(t)x(t)，相当于在频域从采样的Xp(w)X_p(w)Xp(w)中准确地恢复原信号的连续频谱X(w)X(w)X(w)。因此，可以归结出频域采样定理：

对于一个长度为2tm2t_m2tm的时限信号，为了能够从频域样本集合完全恢复原信号的频谱，其频域的采样间隔必须满足w0≤πtmw_0\leq \frac{\pi}{t_m}w0≤tmπ。

与连续时间信号的恢复类似，为了恢复原信号x(t)x(t)x(t)的连续频谱X(w)X(w)X(w)，可以将其周期延拓的信号xp(t)x_p(t)xp(t)乘上时域窗函数g(t)g(t)g(t)
g(t)={w0∣t∣≤T020∣t∣>T02g(t)= \begin{cases} w_0 & |t| \leq \frac{T_0}{2} \\ 0 & |t|>\frac{T_0}{2} \end{cases} g(t)={w00∣t∣≤2T0∣t∣>2T0
它将原信号x(t)x(t)x(t)从xp(t)x_p(t)xp(t)中完整地提取出来，即
x(t)=xp(t)g(t)x(t)=x_p(t)g(t) x(t)=xp(t)g(t)
根据傅里叶频域卷积性质，有
X(w)=12πXp(w)∗G(w)X(w)=\frac{1}{2\pi}X_p(w)* G(w) X(w)=2π1Xp(w)∗G(w)
式中，Xp(w)=X(w)∑k=−∞∞δ(w−kw0)=∑k=−∞∞X(kw0)δ(w−kw0)X_p(w)=X(w)\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(w-kw_0)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}X(kw_0)\delta(w-kw_0)Xp(w)=X(w)∑k=−∞∞δ(w−kw0)=∑k=−∞∞X(kw0)δ(w−kw0)。又因为
G(w)=2πSa(wT02)G(w)=2\pi Sa(\frac{wT_0}{2}) G(w)=2πSa(2wT0)
所以得
X(w)=12π[∑k=−∞∞X(kw0)δ(w−kw0)]∗[2πSa(wT02)]=∑k=−∞∞X(kw0)Sa[T02(w−kw0)]X(w)=\frac{1}{2\pi}[\sum_{k=-\infty}^{\infty}X(kw_0)\delta(w-kw_0)]*[2\pi Sa(\frac{wT_0}{2})] \\ =\sum_{k=-\infty}^{\infty}X(kw_0)Sa[\frac{T_0}{2}(w-kw_0)] X(w)=2π1[k=−∞∑∞X(kw0)δ(w−kw0)]∗[2πSa(2wT0)]=k=−∞∑∞X(kw0)Sa[2T0(w−kw0)]
这就是频域内插公式，如果正好取tm=T02t_m=\frac{T_0}{2}tm=2T0，则有
X(w)=∑k=−∞∞X(kw0)Sa[tm(w−kw0)]=∑−∞∞X(kw0)sintm(w−kw0)tm(w−kw0)X(w)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}X(kw_0)Sa[t_m(w-kw_0)]=\sum_{-\infty}^{\infty}X(kw_0)\frac{sint_m(w-kw_0)}{t_m(w-kw_0)} X(w)=k=−∞∑∞X(kw0)Sa[tm(w−kw0)]=−∞∑∞X(kw0)tm(w−kw0)sintm(w−kw0)
频域内插公式表明：在频域中，每个采样样本能给出准确的X(w)X(w)X(w)值，而非样本值的X(w)X(w)X(w)由无限项之和决定的。

从时域采样及其内插恢复和频域采样及其内插恢复，我们可得出时域和频域的一个重要对应关系：频域的带限信号在时域是非时限的，时域的时限信号在频域是非带限的。