01背包问题（动态规划解决）

动态规划原理

动态规划的核心：填表

动态规划和分治法的相同点：把大问题拆分成小问题，再找大小问题间的递推关系。由最基本的小问题开始解决，逐渐解决大问题。

动态规划和分治法的不同点：分治法不会记忆中间的过程，因此需要重复计算子问题。动态规划以填表的形式将已经解决了的小问题的答案都记录下来，如有需要可随时提用，避免了重复计算，节省了时间。在问题满足最优性原理后，动态规划解决问题的核心就在于填表，表填写完毕，最优解就找到了。

最优性原理是动态规划的基础：即解决每一个小问题都采用最优的方式，因此其后的步骤可采用前面结果且不影响最优性。
（最优性原理是指“多阶段决策过程的最优决策序列具有这样的性质：不论初始状态和初始决策如何，对于前面决策所造成的某一状态而言，其后各阶段的决策序列必须构成最优策略”。：大佬原文中的解释）

问题描述

有n个物体（由输入数据组数决定），每个物体都有各自的体积和价值。现给定一容量一定的背包，求怎样装才能让背包所装总物体价值最大？
记背包容量为8，物体体积，价值如下。（以输入4组数据为例）

物体编号	体积	价值
1	2	3
2	3	4
3	4	5
4	5	6

问题分析

从最小容量开始分析填表（0-8）以totalvalue[j][k]记录最大价值表格信息
j记录物体数，k记录背包容量。

递推关系：每个商品都有两种可能
1：包的容量比当前物体小，不装入背包：此时价值与前j-1个相同，totalvalue[j][k]=totalvalue[j-1][k]
2：包的容量能装下当前物体，装入背包：此时价值等于背包剩余容量（背包当前总容量减去当前所装入物体的体积）最大价值+当前物体价值
因此填入totalvalue表时需对上述两种情况进行比较，取最大价值记录。

填表分析
如背包容量为0时，不论有几个物体待选，总价值都为0。

背包容量为1时，没有能装下的物体（物体体积，价值见上），总价值也为0

例背包容量为4时：当只有0个物体时，总价值为0。
当有第一个物体（体积2，价值3）能装时，4>2，装价值为3，不装价值为0,3>0所以选择装，最大价值为3。【列数4，行数1】填3

当有第二个物体（体积3，价值4）也能装时，4>3，不装，价值和只有第一个物体能装时相同，为3，装则价值=4(当前物体价值)+背包容量为1(当前背包总容量(4)-当前物体体积(3))时的最大价值(0)=4，4>3，所以选择装，最大价值为4。【列数4，行数2】填4

例题totalvalue表格如下

物体/背包容量	2	3	4	5	6	7	8
0	0	0	0	0	0	0	0
1	3	3	3	3	3	3	3
2	3	4	4	7	7	7	7
3	3	4	5	7	8	9	9
4	3	4	5	7	8	9	10

填完表格后最优解即为totalvalue[8][4] (所给背包容量，物品数对应的结果)

找最大价值物体组成(回溯)
背包容量一定，从最多物体开始分析
比较totalvalue[j][k]和totalvalue[j-1][k]，若两者不相等，则说明当前物体被装入了背包，于是将k-当前物体的体积=k2，再比较totalvalue[j][k2]和totalvalue[j-1][k2]遍历直到k=0，由此判断背包剩余体积组成。

代码实现

#include<iostream>
using namespace std;
int totalvalue[1005][1005]={0};
//定义较大数组需放在main外做为全局变量 ，否则会导致程序无法输入直接终止的问题 int max(int m,int n)
{return m>n?m:n;
}//比较取大函数 int main()
{int totalspace;int m,n;//m-space,n-valueint space[1005],value[1005];int i=1,j=0,k=0;cin>>totalspace;while(cin>>m>>n&&m&&n){space[i]=m;value[i]=n;i++;//记录输入数据组数 }for(j=1;j<i;j++){for(k=1;k<=totalspace;k++){if(k<space[j])//背包容量小于物体体积，未装入 totalvalue[j][k]=totalvalue[j-1][k];else//当能装下时，需进行比较决定装或不装 totalvalue[j][k]=max(totalvalue[j-1][k],totalvalue[j-1][k-space[j]]+value[j]); }}//填totalvalue[][]这个表 ：：重点 for(j=0;j<i;j++){for(k=0;k<=totalspace;k++)cout<<totalvalue[j][k]<<' ';cout<<endl;} //输出动态规划表(totalvalue) cout<<endl; for(j=i-1;j>1;j--){if(totalvalue[j][totalspace]!=totalvalue[j-1][totalspace]){cout<<j<<' ';totalspace-=space[j];//改变容量以找出下一个组成部分 }    } //输出最优解组成 cout<<endl;return 0;
}

为了学明白这个问题，我看了B站的视频讲解，也看了大佬的分析文章，此处附上大佬文章链接https://blog.csdn.net/qq_37767455/article/details/99086678?