容斥原理是概率统计中的一条定理，它主要用来求一些集合的并集，由于这些集合可能有交集，所以它们的并集可能不是简单的相加减，而容斥原理，就可以很好地用数学公式的形式来求得集合的并集

容斥原理

　　原理：

　　先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

　　公式：

　　$(A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3} \cup ... \cup A_{n})=\sum_{0<i\le n} A_{i}-\sum_{0<i<j\le n} (A_{i} \cap A_{j})+\sum_{0<i<j<k\le n}(A_{i}\cap A_{j}\cap A_{j})+...+(-1)^{n+1}(A_{1} \cap A_{2}\cap A_{3}\cap ... \cap A_{n}) $

ps：这公式我也记不住，放在这里只是摆设，下面我将介绍容斥原理的基本逻辑

容斥原理，容的是单一，斥的是重复，如下图ven图所示：

从图中可以看到：

　　$A_{1}，A_{2}，A_{3}$为三个事件，它们各有属于自己独立的事件，也有和其他事件相交的事件，正因为如此，如果要求三个事件的并集，并不只是简单的把三个事件通过直接加和来得到，还需将重复的部分给“斥”出去。

　　如图所示：$A_{1}=B_{1} \cup B_{4} \cup B_{6} \cup B_{7}$

　　　　　　　$A_{2}=B_{2} \cup B_{5} \cup B_{6} \cup B_{7}$

　　　　　　　$A_{3}=B_{3} \cup B_{4} \cup B_{5} \cup B_{7}$

　　故：$A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3}=B_{1} \cup B_{2} \cup B_{3} \cup B_{4} \cup B_{5} \cup B_{6} \cup B_{7}$

接下来，需要把$A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3}$变形：

　　(1)  先求$A_{1}+ A_{2}+ A_{3}$（全“容”）

　　(2)  已知$A_{1}+ A_{2}+ A_{3}$包括了$A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3}$，但$A_{1}，A_{2}，A_{3}$两两相交的部分（$B_{6}+B_{7}，B_{4}+B_{7}，B_{5}+B_{7}$）被包含了两次，于是需要将这些重复的部分“斥”掉（选“斥”），得到：

　　      $A_{1}+ A_{2}+ A_{3}- (B_{6}+ B_{7}+ B_{4}+ B_{7}+ B_{5}+ B_{7})=A_{1}+ A_{2}+ A_{3}$

$-(A_{1} \cap A_{2}+ A_{1} \cap A_{3}+ A_{2} \cap A_{3})$

　　(3)  虽然减掉了重复的部分，但是发现$A_{1}，A_{2}，A_{3}$所具有的的共同事件$B_{7}$被重复“斥”掉了一次，需要将$B_{7}$“容回来”（选“容”），得到$A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3}$：

　　      $A_{1}+ A_{2}+ A_{3}- (B_{6}+ B_{7}+ B_{4}+ B_{7}+ B_{5}+ B_{7})+B_{7}=A_{1}+ A_{2}+ A_{3}$

$-(A_{1} \cap A_{2}+ A_{1} \cap A_{3}+ A_{2} \cap A_{3})+ A_{1} \cap A_{2}\cap A_{3}$

最后：

　　$A_{1}+ A_{2}+ A_{3}=\sum_{0<i\le 3} A_{i}$

　　$A_{1} \cap A_{2}+ A_{1} \cap A_{3}+ A_{2} \cap A_{3}=\sum_{0<i<j\le 3} (A_{i} \cap A_{j})$

　　$A_{1} \cap A_{2}\cap A_{3}=\sum_{0<i<j<k\le n}(A_{i}\cap A_{j}\cap A_{j})$

得到：

　　$A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3}=\sum_{0<i\le 3} A_{i}-\sum_{0<i<j\le 3} (A_{i} \cap A_{j})+\sum_{0<i<j<k\le n}(A_{i}\cap A_{j}\cap A_{j})$（n=3的容斥原理）

　　从这个例子，我们可以看出，容斥原理的公式就是容（+）与斥（-）不断平衡的过程，在平衡中不断靠近最终结果，直到最后一次平衡：“容”（“斥”）了所有事件的交集之后，就可以得到所有事件的并集。

将n=3的容斥原理推广得到容斥原理：

$(A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3} \cup ... \cup A_{n})=$

$\sum_{0<i\le n} A_{i}$

$-\sum_{0<i<j\le n} (A_{i} \cap A_{j})$

$+\sum_{0<i<j<k\le n}(A_{i}\cap A_{j}\cap A_{j})$

$-\sum_{0<i<j<k<l\le n}(A_{i}\cap A_{j}\cap A_{j}\cap A_{j})$

$+...$

$+(-1)^{n+1}(A_{1} \cap A_{2}\cap A_{3}\cap ... \cap A_{n}) $

例题

1.牛客练习赛44----C-小y的质数：https://blog.csdn.net/weixin_43702895/article/details/89470622