正整数表示为连续自然数的和（难度：1颗星）

问题描述：

输入一个正整数N，输出能相加等于N的联系序列的和（序列必须多于1项），如果这种序列存在，则输出所有这样的序列，如果不存在，则输出NULL。

例如：输入为15
输出：
1+2+3+4+5=15
4+5+6=15
7+8=15

首先我们先分析一下这个问题：
1. 首先1和2是不能表示成连续的自然数之和的，所以我们从3开始
2. 假设n可以表示成连续的自然数之和【s,t】,那么根据求和公式则有(s+t)*(t-s+1)=2*n
3. 把2*n表示成两个自然数相乘，则2*n = a * b
4. 另 s+t=a , t-s+1=b,解方程可得s=(a-b+1)/2, t=(a+b-1)/2
5. 要使得s和t为自然数，那么必须满足a-b和a+b都是奇数
6. 我们在来讨论一下n的奇偶性，如果n是奇数那肯定可以表示为n=2*i+1,至少可以分解为【i,i+1】,所以肯定有解
7. 如果n是偶数，则n可以分解为n=2^i*3^j*….,假定只有i不为0，后面的j,k…幂次都为0，那么所有的因子都为偶数，不可能满足两个因子为奇数的条件。
8. 所以我们可以发现，只要n不是2的幂次并且大于等于3，就一定可以分解为连续正整数之和。

方法1：
使用简单的循环来进行枚举判断，从一个数为1开始枚举，当和大于n时，把第一个数加1，以此类推，此处采用上面推导的n必须为2的幂次直接判断。

参考代码：

#include <stdio.h>int IsCanFind(int n)
{if (n < 3)return 0;return n & (n - 1);//如果n是2的幂次则不能找到
}int main()
{int n, i, j, k, nSum;printf("input a number: ");scanf_s("%d", &n);if (0 == IsCanFind(n)){printf("NULL\n");return 0;}for (i = 1; i < (n + 1) / 2; i++)//只需要找到n的一半就可以了，因为再往下找肯定大于n了{nSum = 0;for (j = i; j <= n; j++){nSum += j;if (nSum == n){if (i == j)break;//这里只有一个元素可以直接退出该层循环，因为后面再加肯定不满足了printf("%d", i);for (k = i + 1; k <= j; k++)printf("+%d", k);printf("=%d\n", n);}else if (nSum > n)break;}}return 0;
}

方法2：
查找的方式相同，只是更换了判断不存在的判断方法。

参考代码：

#include <stdio.h>int main()
{int n, i, j, k, nSum, IsFind = 0;printf("input a number: ");scanf_s("%d", &n);for (i = 1; i <= n; i++){nSum = 0;for (j = i; j <= n; j++){nSum += j;if (nSum == n){if (i == j)break;//这里只有一个元素可以直接退出该层循环，因为后面再加肯定不满足了printf("%d", i);for (k = i + 1; k <= j; k++)printf("+%d", k);printf("=%d\n",n);IsFind = 1;}else if (nSum > n)break;}}if (0 == IsFind)printf("NULL\n");return 0;
}

方法3：
使用序列的起点和终点的两个下标记录，这样可以保证在查找失败之后，不用从头加起，只需要减掉之前的第一个继续往后加就可以了。

参考代码：

#include <stdio.h>int IsCanFind(int n)
{if (n < 3)return 0;return n & (n - 1);//如果n是2的幂次则不能找到
}int main()
{int n, startIndex, endIndex, i, nSum;printf("input a number: ");scanf_s("%d", &n);if (0 == IsCanFind(n)){printf("NULL\n");return 0;}startIndex = 1;endIndex = 2;nSum = startIndex + endIndex;while(startIndex < (n + 1) / 2)//起点到一半即可，因为再往后加肯定超过了{if (nSum == n){if (startIndex < endIndex){for (i = startIndex; i < endIndex; i++)printf("%d+", i);printf("%d=%d\n", endIndex, n);}startIndex++;endIndex = startIndex + 1;nSum = startIndex + endIndex;}else if (nSum > n)//如果已经大于n了，减去起点的数，并且起点右移{nSum -= startIndex;startIndex++;}else{endIndex++;nSum += endIndex;}}return 0;
}

方法4：
使用求和公式来进行求和，省掉了循环的遍历的时间。

参考代码：

#include <stdio.h>int IsCanFind(int n)
{if (n < 3)return 0;return n & (n - 1);//如果n是2的幂次则不能找到
}int main()
{int n, i, j, k, nSum;printf("input a number: ");scanf_s("%d", &n);if (0 == IsCanFind(n)){printf("NULL\n");return 0;}for (i = 1; i < (n + 1) / 2; i++){for (j = 1;; j++) //遍历项数{nSum = (i + i + j - 1) * j / 2;if (nSum == n){if (j == 1)break;//如果只有1项，因为后面再加肯定不满足了printf("%d", i);for (k = i + 1; k <= i + j - 1; k++)printf("+%d", k);printf("=%d\n", n);}else if (nSum > n)break;}}return 0;
}

方法5：
使用我们最开始分析的因子分解法，求出因子必须要满足和为奇数的条件进行求解。

参考代码：

#include <stdio.h>int IsCanFind(int n)
{if (n < 3)return 0;return n & (n - 1);//如果n是2的幂次则不能找到
}int main()
{int n, i, j;int mini, maxi, nStart, nEnd;printf("input a number: ");scanf_s("%d", &n);if (0 == IsCanFind(n)){printf("NULL\n");return 0;}for (i = 1; i * i <= 2 * n; i++){if (2 * n % i == 0){mini = i;maxi = 2 * n / i;if ((mini + maxi) % 2 == 1){nStart = (maxi - mini + 1) / 2;nEnd = (maxi + mini - 1) / 2;if (nStart < nEnd)//大于1个元素再输出{printf("%d", nStart);for (j = nStart + 1; j <= nEnd; j++)printf("+%d", j);printf("=%d\n",n);}}}}return 0;
}

运行结果：

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