[线性控制理论]关于Laplace变换中求导运算的结果推导

设处处可导的时域函数 x ( t ) x(t) x(t)，那么该函数的 L a p l a c e Laplace Laplace变换为：
X ( s ) = ∫ 0 + ∞ x ( t ) e − s t d t X(s)=\int_0^{+\infty}x(t)e^{-st}dt X(s)=∫0+∞x(t)e−stdt
设 x ( t ) x(t) x(t)的一阶导数的拉氏变换为 X 1 ( s ) X_1(s) X1(s)，那么：
X 1 ( s ) = ∫ 0 + ∞ x ′ ( t ) e − s t d t = ∫ 0 + ∞ [ x ( t ) e − s t ] ′ d t − ∫ 0 + ∞ x ( t ) [ e − s t ] ′ d t X_1(s)=\int_0^{+\infty}x^{'}(t)e^{-st}dt=\int_0^{+\infty}[x(t)e^{-st}]^{'}dt-\int_0^{+\infty}x(t)[e^{-st}]^{'}dt X1(s)=∫0+∞x′(t)e−stdt=∫0+∞[x(t)e−st]′dt−∫0+∞x(t)[e−st]′dt
整理后得到：
X 1 ( s ) = s X ( s ) − x ( 0 ) X_1(s)=sX(s)-x(0) X1(s)=sX(s)−x(0)
通过归纳可得到x（t）的n阶导数的拉氏变换（记为 X n ( s ) X_n(s) Xn(s)）为：
X n ( s ) = s n X ( s ) − [ s n − 1 x ( 0 ) + s n − 2 x ( 1 ) ( 0 ) + ⋯ + s x ( n − 2 ) ( 0 ) + x ( n − 1 ) ( 0 ) ] X_n(s)=s^nX(s)-[s^{n-1}x(0)+s^{n-2}x^{(1)}(0)+\cdots+sx^{(n-2)}(0)+x^{(n-1)}(0)] Xn(s)=snX(s)−[sn−1x(0)+sn−2x(1)(0)+⋯+sx(n−2)(0)+x(n−1)(0)]
故在线性控制系统的分析过程中，要注意 x ( t ) x(t) x(t)初值对运动方程解的影响。

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