Ugly Numbers问题

                                      算法一 Ugly Numbers

一、问题描述
质因子只有2、3、5的数称为丑数，为了方便，1也被归为丑数（1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15…）
现给出一个正整数n,求第n个丑数

二、常规解法
难点1. 如何求丑数
下图是百度百科给出的质因子定义

因为任何正整数都可以写成独一无二的质因子分解式，且丑数的质因子只有2,3,5，所以

任意丑数N = 2^n1 * 3^n2 * 5^n3（n1 >= 0 && n2 >= 0 && n3 >= 0)

除1以外，n1,n2,n3比不全为0，不妨设n1>0，此时

不为1的丑数N = N1 * 2N1 = 2^(n1 - 1) * 3^n2 * 5^n3（ (n1-1) >= 0 && n2 >= 0 && n3 >= 0)

有没有发现N1也是个丑数呢？所以除1外的所有丑数都能写成2或者3或者5乘以另一个比他小的丑数。
所以前N个丑数一定包含下列的集合里

2*N1、2*N2、2*N3、....、2*Nn-1
3*N1、3*N2、3*N3、....、3*Nn-1
5*N1、5*N2、5*N3、....、5*Nn-1
（N1=1，Ni代表第i个丑数，）

然后利用归并，取出这个集合的第n个数。

难点2. 去除重复元素
这个问题的本质是：我们产生的新丑数必定是当前3个序列中的最小值，其他2序列的丑数必定是大于等于它的关系。（好像没有表达清楚，(⊙o⊙)…）

实现代码

#include <stdio.h>#define N 2000#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))  long long int getNthUglyNumber(int n) {// 元素类型是 long long int！long long int uglyNumbers[N] = { 1 };int tail = 1;int indexOf2 = 0;int indexOf3 = 0;int indexOf5 = 0;for (int i = 0; i < n; ++i) {long long int multipleOf2 = uglyNumbers[indexOf2] * 2;long long int multipleOf3 = uglyNumbers[indexOf3] * 3;long long int multipleOf5 = uglyNumbers[indexOf5] * 5;long long int uglyNumber = min(multipleOf2, min(multipleOf3, multipleOf5));if (uglyNumber == multipleOf2) {++indexOf2;}if (uglyNumber == multipleOf3) {++indexOf3;}if (uglyNumber == multipleOf5) {++indexOf5;}uglyNumbers[tail++] = uglyNumber;}return uglyNumbers[n - 1];
}int main() {// int n = 11;// for (int i = 1; i < n; ++i) {//     printf("%d'th ugly number is %d\n", i, getNthUglyNumber(i));// }printf("%d'th ugly number is %d\n", 7, getNthUglyNumber(7));printf("%d'th ugly number is %d\n", 10, getNthUglyNumber(10));printf("%d'th ugly number is %d\n", 15, getNthUglyNumber(15));printf("%d'th ugly number is %d\n", 150, getNthUglyNumber(150));return 0;
}

复杂度分析
1.时间复杂度: O(n)因为只有一个for循环
2.空间复杂度: O(N)，因为我们分配了一个N的数组来记录前N个元素
3.LeeCode执行结果

三、拓展解法
这些解法不一定会比常规解法优秀，但是可能能帮给你开阔思路
思路一、数组法

// 伪代码 这个方法我没有实现
#define N 10000000int getNthUglyNumber(int n) {// Note： 用户空间能否分配如此大的空间？char arr[N] = { 0, 1 };int count = 0；for (int i = 0; i < N; ++i) {if (arr[i] == 0)continue;// Note：2 * i会不会比 N 大？arr[2 * i] = 1;arr[3 * i] = 1;arr[5 * i] = 1;if (++count == n)return i;}
}

这个方法其实是我第一次想出来的，问题很明显，我也标出来了，但是如果你的n很小的时候还是挺好用的，不过空间复杂度很高。

思路二、利用正整数的独一无二质因子分解式和二分查找

#include <iostream>
#include <set>
#include <algorithm>#define N    40
#define LEFT  1
#define RIGHT 21474836647int getUglyNumberCountLessAndEqualThanN(long long int* powerOf2, int size, long long int n) {int count = 0;for (long long int multipleOf5 = 1; multipleOf5 <= n; multipleOf5 *= 5) {for (long long int multipleOf3 = 1; multipleOf3 * multipleOf5 <= n; multipleOf3 *= 3) {count += std::upper_bound(powerOf2, powerOf2 + size, n / (multipleOf5 * multipleOf3)) - powerOf2;}}return count;
}long long int getNthUglyNumber(int n) {long long int powerOf2[N] = { 1 };for (int i = 1; i < N; ++i)powerOf2[i] = powerOf2[i - 1] * 2;long long int possible_result = -1;// N = 2^n1 * 3^n2 * 5^n3long long int left  = LEFT;long long int right = RIGHT;while (left <= right) {long long int midst = (left + right) / 2;if (getUglyNumberCountLessAndEqualThanN(powerOf2, N, midst) < n) {left = midst + 1;} else {// maybe midst is the Nth ugly number.possible_result = midst;right = midst - 1;}}return possible_result;
}int main() {int n = 12;// printf("%d'th ugly number is %d\n", n, getNthUglyNumber(n));for (int i = 1; i < n; ++i) {printf("%d'th ugly number is %d\n", i, getNthUglyNumber(i));}printf("%d'th ugly number is %d\n", 7, getNthUglyNumber(7));printf("%d'th ugly number is %d\n", 10, getNthUglyNumber(10));printf("%d'th ugly number is %d\n", 15, getNthUglyNumber(15));printf("%d'th ugly number is %d\n", 150, getNthUglyNumber(150));
}

这种做法很巧妙，但是不利于n很小的情况。下面贴出LeeCode的执行结果

这个算法时间复杂度就不那么明显了，GeeksForGeeks给出的如下图，二分查找是0(logN)，但是计数函数的复杂度咋处理。。

四、参考资料
1.题目连接:
https://leetcode.com/problems/ugly-number-ii/
2.参考资料
https://www.geeksforgeeks.org/ugly-numbers/
3.其他
https://baike.baidu.com/item/%E8%B4%A8%E5%9B%A0%E6%95%B0

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