回顾复数

将下列数字写成复数形式：

-21

7i

简单复习一下，复数是包含实数部分和虚数部分的数。

如果有a+bi，a是实数，b是实数，这是复数。a是实部，bi是虚数部分（注：虚部不包括i）。

为什么bi是虚部？因为bi带有特殊系数i，这个虚数单位，这个特殊的数i，在这里乘以了b。我相信大家都会觉得怪诞，不过根据定义：

$i^{2} = -1$

在此之前，不存在对某个数取平方后得到-1，现在取i的平方，得到-1，关于虚数（单位）的特别的知识点是它的平方是负数。复数有用之处在于它使我们有能力解决很多方程，这些方程在只允许实数解的情况下无解。复数在很多方面都有用，特别是在工程领域，还有其他领域，比如物理等等。现在，我们不会花很多心思讨论复数定义，在大家处理更多数字后，特别是接触到某些工程应用后，希望大家明白虚数的价值。

回到问题中来，把上面的数字写成复数形式。

-21

怎么把它写成复数呢？把它写成实部和虚部的组合。可以写成：

-21 = -21+0i

0i等于0，所以它仍等于-21，实际上这里没有虚部，-21本身就是复数形式，很简单。同样的：

7i = 0 + 7i

7i是虚数形式的，所以这里没有实部，实部是0，虚部是7i，所以等于0 + 7i。

复数的基本运算

很多时候解方程都会碰到根号下负数的情况，比如根号下-1或者-9：

$\sqrt{-1}$

$\sqrt{-9}$

由于如何实数的平方不是0就是正数，所以以上两个数这些没有定义，为了定义这些数，人们引入i的概念，i是虚数单位，i的定义是：

$i^{2}=-1$

这就是解决了根号下负数的问题，这样一来，根号下-9是多少呢？它等于i乘以根号9，即3i，

$\sqrt{-9} = i\sqrt{9} = 3i$

为什么，想想3i平方是多少？

$(3i)^2=3^{2}\cdot i^2{}=9\cdot -1=-9$

这是指数性质。所以 $(3i)^2=-9$ ，这样的定义就拓展到了，所有负数开根号的情况：

$3i=\sqrt{-9}$

3i是所谓的虚数，它其实也不比其他数“虚”，某种意义上，负数真的存在吗？只不过是将负号放在前面表示抽象含义，负号只是表示它和大小的关系。任何数乘以虚数单位i都是虚数。解二次方程时，你会发现结果有时会实数和虚数并存（有实数部分和虚数部分），举个例子：

5 + 2i

这不能化简了，因为实数和虚数不能相加，大家可以把这当作不同维度，一个数有实部5，还有虚部2i，这叫做复数。复数可以在平面中表示：

虚数也就是虚轴，在纵轴2i，上图表示为2个单位。

实数也就是实轴，在实轴5，上图表示为5个单位。

所以这个图形表示为：5+2i。在以后讲复数应用时，我还会举更多例子，现在只需要知道定义即可。看看有什么运算，两复数相加怎么做：

$a + bi$

a是实部，bi是虚部，另一个复数是：

$c + di$

通常像方程的未知数，这样的一般性实数，人们喜欢用x，而复数的惯例是用z表示。比如：

$a + bi = z_{1}$

$c + di = z_{2}$

$z$ 表示任意某个复数，那么 $z_{1}+z_{2}$ 等于多少呢？

$z_{1}+z_{2} = (a + bi) + (c + di)$

复数相加只需要分别把实部和虚部相加即可，这等于：

$(a+c)+(b+d)i$

那么两个复数相减呢？如下：

$z_{1}-z_{2} = (a - c) + (b - d)i$

这就是新的复数。

那么两个复数相乘呢？如下：

$z_{1}\cdot z_{2} = (a + bi) (c + di)$

教科书的方法称为FOIL，大概是八九年级的方法，我不怎么喜欢它，我喜欢将这看成是两次使用分配率，这里，可以将(c+di)分配到(a+bi)中的a和bi这2项中。我们得到：

$a(c+di)+bi(c+di)$

分解得：

$ac+adi+cbi+bd(-1)$

化简得：

$(ac-bd)+(ad+cb)i$

实数很简单，下一次我们会谈到实数。这里的关键是使用分配率，然后实部相加，实数和虚数不可相加，然后虚部相加，记住，两个虚数相乘时，i和i相乘会得到-1。

那么两个复数相除呢？

$\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{(a+bi)}{(c+di)}$

我们要用到一个性质，但愿大家学过：

$(a+b)(a-b) = a^{2}-b^{2}$

如果这两个复数相乘：

$(c+di)(c-di) = c^{2}-(b^2\cdot i^2) = c^2+b^2$

那么 $(bi)^{2}$ 是多少？ $(bi)^{2} = b^2\cdot i^2 = b^2 \cdot -1=-b^2$ 。我们最后得到 $c^2+b^2$ ，非常有趣，这是一个复数乘以另外一个复数，两个复数很像，只是虚部方向相反。两者相乘得到一个实数，i都消去了。

例子用的是 $z_{2}$ ，即 $c+di$ ，那么 $c+di$ 称为 $z_{2}$ 的共轭复数。这个术语需要了解，共轭的符号是顶上一横， $z_{2}$ 的共轭是 $c+di$ ，反过来 $c-di$ 的共轭是 $c+di$ ，如下：

$\overline{c-di}=c+di$

两者互为共轭。 $c+di$ 的共轭是 $c-di$ ，共轭其实只是改变虚轴上的方向。好了，回到之前的题目。共轭只是做除法时需要的工具。复数乘以其共轭等于实数，我们还知道，任意数乘以1还是该数，那么，分子分母同时乘以分母的共轭复数，看看得到什么：

$\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{(a+bi)}{(c+di)} \cdot \frac{(c-di)}{(c-di)}$

我们将得到什么？

$\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{(a+bi)}{(c+di)} \cdot \frac{(c-di)}{(c-di)} = \frac{(ac-adi+cbi+bd)}{(c^2+d^2)}$

这是结果，代数运算的话，只能实部和实部相加，虚部和虚部相加，化简，先看实部：

$\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{(a+bi)}{(c+di)} \cdot \frac{(c-di)}{(c-di)} = \frac{(ac-adi+cbi+bd)}{(c^2+d^2)} = \frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{(c^2+d^2)}$

这看起来也许不像复数，将实部和虚部分开就像了。

$\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{(c^2+d^2)}= \frac{(ac+bd)}{(c^2+d^2)}+\frac{(bc-ad)i}{(c^2+d^2)}$

注意加减时，实部和虚部间不可以合并，顶多只能数乘虚数，这就是我们所做的。这里乘 $\frac{1}{c^2+b^2}$ ，写成字母形式，除法有点复杂。下面举个例子，实际数例就不会显得那么复杂了：

$\frac{1+2i}{2+3i}$

乘以分母的共轭复数：

$\frac{1+2i}{2+3i} \cdot \frac{2+3i}{2+3i}$

这是1，不会改变值，分母很容易求出：

$\frac{2-3i+4i+6}{4+9} = \frac{8+i}{13}$

然后写成一般形式：

$\frac{8+i}{13} = \frac{8}{13}+\frac{i}{13}$

复数除以复数，结果仍是复数。你们可以练习一下，随便找一下复数，在复平面画一下，看加减乘除时是什么情况，看数乘和取共轭时又是什么情况，这能让大家更好地理解复数。

——请不断重复练习、练习、练习、再练习。。。

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