【BZOJ1791】【IOI2008】【基环树】island（status速度第一）

1791: [Ioi2008]Island 岛屿

Time Limit: 20 Sec Memory Limit: 162 MB
Submit: 908 Solved: 159
[Submit][Status]

Description

你将要游览一个有N个岛屿的公园。从每一个岛i出发，只建造一座桥。桥的长度以Li表示。公园内总共有N座桥。尽管每座桥由一个岛连到另一个岛，但每座桥均可以双向行走。同时，每一对这样的岛屿，都有一艘专用的往来两岛之间的渡船。相对于乘船而言，你更喜欢步行。你希望所经过的桥的总长度尽可能的长，但受到以下的限制。 • 可以自行挑选一个岛开始游览。 • 任何一个岛都不能游览一次以上。 • 无论任何时间你都可以由你现在所在的岛S去另一个你从未到过的岛D。由S到D可以有以下方法： o 步行：仅当两个岛之间有一座桥时才有可能。对于这种情况，桥的长度会累加到你步行的总距离；或者 o 渡船：你可以选择这种方法，仅当没有任何桥和/或以前使用过的渡船的组合可以由S走到D（当检查是否可到达时，你应该考虑所有的路径，包括经过你曾游览过的那些岛）。注意，你不必游览所有的岛，也可能无法走完所有的桥。任务编写一个程序，给定N座桥以及它们的长度，按照上述的规则，计算你可以走过的桥的最大长度。限制 2 <= N <= 1,000,000 公园内的岛屿数目。 1<= Li <= 100,000,000 桥i的长度。

Input

• 第一行包含N个整数，即公园内岛屿的数目。岛屿由1到N编号。 • 随后的N行每一行用来表示一个岛。第i 行由两个以单空格分隔的整数，表示由岛i筑的桥。第一个整数表示桥另一端的岛，第二个整数表示该桥的长度Li。你可以假设对於每座桥，其端点总是位于不同的岛上。

Output

你的程序必须向标准输出写出包含一个整数的单一行，即可能的最大步行距离。注1：对某些测试，答案可能无法放进32-bit整数，你要取得这道题的满分，可能需要用Pascal的int64或C/C++的long long类型。注2：在比赛环境运行Pascal程序，由标准输入读入64-bit数据比32-bit数据要慢得多，即使被读取的数据可以32-bit表示。我们建议把输入数据读入到32-bit数据类型。评分 N不会超过4,000。

Sample Input

7
3 8
7 2
4 2
1 4
1 9
3 4
2 3

Sample Output

/******************************************************************************/

题意：

输入n，然后n行第i行是由i向外引一条无向边，以及输入边的权值，这样会组成k个联通图，每个图上取两点，使其间路径长度最大，求这些“最大路径”长度总和。

题目分析：

首先一个n点联通图上会有n条边，而它又联通，所有它一定是有环的，而因为有n-1条边的n点联通图保证图联通且无环，剩下一条边则一定使“树”中有且只有一个环，于是得证每个联通图都是一个“基环树”，即有且仅有一个环的树。

那么现在我们应该输出的就是所有基环树的直径总和（树的直径即树上点不重复的最长路径）。

如图，这棵基环树的直径就是11到5，经过3，长度71。

题解：

我们需要对每个基环树单独处理，先搜到它的环，然后dfs求每个环上点往外枝杈的最长路径，这样每个点就有了一个权值，然后环上每个边又有了一个权值，就可以在环上做一发单调队列动规，求基环树直径长度啦！

当然，我们对于每棵树的直径是在动规里面定论的，不过它的初值却不能在动规前赋成0！

如下图中，直径就不经过环，为13到6，长度79，所以在dfs求环上点权的，也不能忘了更新直径值，不过怎么更新就需要略加斟酌了。

实现：

首先双向建边，然后对任意点搜索，搜到某个点已经搜过了，就代表这个点是环上的，然后处理环，再然后就是搜索找到每个点，然后递归出枝杈边权和最长值，作为点权值，进行单调队列优化后的动规，过程中更新直径长度，单调队列把点倍增，然后两点间长度小于环长度即可。

我在此证明一下动规的单调性。【甚水，可略过】首先设点A、B、C、D依次排列，则从A到D（有向，不能从D到A）的长度为环上A到D的长度和加上A、D点权和。不要问我为什么不能从D到A，因为我已经把点倍增了，从D到第二个A就是“从D到A”了。

好吧，跑题了，我来总结一下，

长度A到D = A点权+A~B边长+B~C边长+C~D边长+D点权

那么长度B到D就 = B点权+B~C边长+C~D边长+D点权

发生了什么？什么？只要B点权 > A点权+A~B边长，那么从B到D就比A到D优！同理，后面的一样。

结果出来了，然后输出即可，注意输入要用int，输出用long long，不然会超时，超很多，IOI2008测试数据中isl18f.in秒出解，但是用long long 读入，呵呵呵呵。

时间丶代码复杂度优化：

找环实现很烦很磨叽对不对？这时候我们可以引入一种新的解决方法，类似于最小树形图找环的实现（上文的实现方法我其实AC前并不知道）。

目前BZOJ排名第一你怕不怕？常数再好好写写还能更快你怕不怕？就问你怕不怕？

这里就需要运用到本题的一些性质。

首先我们可以把数据输入时的边方向当成正方向，其反方向，好吧，“当成”反方向。这样每个点都有且仅有一条出边。然后我们从任意一个点开始遍历，如果没有环，那是不是根本停不下来？！而数据又是有限的，所以最后就一定会连到已有的链上的某点，而很好想，这个点向前遍历，最后会回到这个点上，即它是一个环，而之前的点的出边方向都是在向环推进。这时候我们再把其它点挨个遍历，首先同一个联通图是一定不会有俩环的，所以要想改变“根本停不下来”的现状，新点遍历到最后，就一定会指向某个已经遍历过的点，从而连上了环，或者方向是向环的。这样我们可以把数据输入的方向存为next[i]，然后把长度存为len[i]。而反向边则有邻接表存储（讨厌指针的我写的是链式前向星）。

这样我们只需要遍历任意点，通过next标记沿途所有点，然后遍历到一个已标记点，即可以高速找到基环树的环了，然后我们对环上每个点进行“-1”标记，禁止接下来的dfs找到该点（反边存了环上的边），从而可以再接下来的dfs中顺利给环上每个点赋值（找枝杈，递归求最长长度）。

优化到此结束，接下来的单调队列与一般做法无异了。

注意：

本题dfs递归出解时由于层数过深可能爆系统栈，所以需要写一份非递归版自写栈的dfs，我会在后面代码附上注释掉的递归版dfs以利于理解思想。（不要想着开大系统栈！那还不如手写非递归dfs呢！）

/**************************************************************Problem: 1791User: 18357Language: C++Result: AcceptedTime:11052 msMemory:120100 kb
****************************************************************/#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <stack>
#include <iostream>
#define N 1050000
using namespace std;
struct Syndra
{int u,v,len,next;
}e[N];
struct Fiona
{int edge,flag1,flag2;long long temp,max1,max2;
}s[N];
int head[N],cnt,n;
int visit[N],next[N],len[N];
int i,j,k;
long long sa[N],pre[N],ans;
void add(int u,int v,int len)
{cnt++;e[cnt].u=u;e[cnt].v=v;e[cnt].len=len;e[cnt].next=head[u];head[u]=cnt;
}
int que[N<<1];
long long sum[N<<1],ret;
long long dp(int num)
{int top,tail;int u,b,star;int et;for(et=1;et<(num<<1);et++){sum[et]=sum[et-1]+pre[(et-1)>=num?(et-1-num):(et-1)];}top=tail=0;que[top]=0;for(et=1;et<(num<<1);et++){while(et-que[top]>=num)top++;u=que[top];ret=max(ret,sa[et>=num?et-num:et]+sa[u>=num?u-num:u]+sum[et]-sum[u]);b=que[tail];que[++tail]=et;for(star=tail;star>top;b=que[star-1]){if(sum[et]-sum[b]+sa[b>=num?b-num:b]<sa[et>=num?et-num:et]){que[star]=b;que[--star]=et;}else break;}tail=star;}/*que[tail++]=0;for(et=1;et<(num<<1);++et){while(top<tail&&et-que[top]>=num)++top;u=que[top];ret=max(ret,sa[et>=num?et-num:et]+sa[u>=num?u-num:u]+sum[et]-sum[u]);while(top<tail&&sa[et>=num?et-num:et]>=sa[que[tail-1]>=num?que[tail-1]-num:que[tail-1]]+sum[et]-sum[que[tail-1]])--tail;que[tail++]=et;}*/return ret;
}
void build()
{cnt=1;memset(head,0,sizeof(head));memset(visit,0,sizeof(visit));scanf("%d",&n);for(i=1;i<=n;i++){scanf("%d%d",&next[i],&len[i]);add(next[i],i,len[i]);}
}
stack<int>sk;
int fa[N];
void dfs(int x)
{if(s[x].edge==0){sk.pop();if(s[x].flag2)ret=max(ret,s[x].max1+s[x].max2);if(visit[x]==-1)return ;x = sk.top();{int v,tt=s[x].edge;v=e[tt].v;visit[v]=i;s[x].temp=s[v].max1+e[tt].len;if(s[x].max1<s[x].temp){if(s[x].flag1)s[x].max2=s[x].max1,s[x].flag2=1;else s[x].flag1=1;s[x].max1=s[x].temp;}else if(s[x].max2<s[x].temp)s[x].max2=s[x].temp,s[x].flag2=1;s[x].edge=e[tt].next;}return ;}int v,tt=s[x].edge;v=e[tt].v;if(visit[v]==-1){s[x].edge=e[tt].next;return ;}fa[v]=x;s[v].edge=head[v];sk.push(v);
}
long long handle(int x)
{s[x].edge=head[x];sk.push(x);while(!sk.empty()){dfs(sk.top());}return s[x].max1;
}/*handle(long long)+dfs(void)=dfs(long long)*/
/*long long dfs(int x)
{int et,v,flag1,flag2;long long max1,max2;for(max1=max2=0,flag1=flag2=0,et=head[x];et;et=e[et].next){v=e[et].v;if(visit[v]==-1)continue;temp=dfs(v)+e[et].len;visit[v]=i;if(max1<temp){if(flag1)max2=max1,flag2=1;max1=temp;flag1=1;}else if(max2<temp)max2=temp,flag2=1;}if(flag2)ret=max(ret,max1+max2);return max1;
}*/
int main()
{
//  freopen("isl.in","r",stdin);
//  freopen("isl.out","w",stdout);int u,v;build();for(i=1;i<=n;i++){if(!visit[i]){for(u=i;!visit[u];u=next[u]){visit[u]=i;}if(visit[u]==i){ret=0;cnt=0;visit[u]=-1;for(v=next[u];v!=u;v=next[v]){visit[v]=-1;}v=u;do{pre[cnt]=len[v];sa[cnt++]=handle(v);v=next[v];}while(v!=u);ans+=dp(cnt);}}}cout<<ans;return 0;
}

下面是读入优化后的代码，这年头，你不读入优化，光输入就得比这代码慢啊~

/**************************************************************Problem: 1791User: 18357Language: C++Result: AcceptedTime:4556 msMemory:120132 kb
****************************************************************/#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <stack>
#include <cctype>
#include <iostream>
#define N 1050000
using namespace std;
inline int getc() {static const int L = 1<<15;static char buf[L],*S=buf,*T=buf;if(S==T){T=(S=buf)+fread(buf,1,L,stdin);if(S==T)return EOF;}return *S++;
}
inline int getint() {int c;while(!isdigit(c = getc()));int tmp = c-'0';while(isdigit(c=getc()))tmp=(tmp<<1)+(tmp<<3)+c-'0';return tmp;
}
struct Syndra
{int u,v,len,next;
}e[N];
struct Fiona
{int edge,flag1,flag2;long long temp,max1,max2;
}s[N];
int head[N],cnt,n;
int visit[N],next[N],len[N];
int i,j,k;
long long sa[N],pre[N],ans;
void add(int u,int v,int len)
{cnt++;e[cnt].u=u;e[cnt].v=v;e[cnt].len=len;e[cnt].next=head[u];head[u]=cnt;
}
int que[N<<1];
long long sum[N<<1],ret;
long long dp(int num)
{int top,tail;int u,b,star;int et;for(et=1;et<(num<<1);et++){sum[et]=sum[et-1]+pre[(et-1)>=num?(et-1-num):(et-1)];}top=tail=0;/*que[top]=0;for(et=1;et<(num<<1);et++){while(et-que[top]>=num)top++;u=que[top];ret=max(ret,sa[et>=num?et-num:et]+sa[u>=num?u-num:u]+sum[et]-sum[u]);b=que[tail];que[++tail]=et;for(star=tail;star>top;b=que[star-1]){if(sum[et]-sum[b]+sa[b]<sa[et]){que[star]=b;que[--star]=et;}else break;}tail=star;}*/que[tail++]=0;for(et=1;et<(num<<1);++et){while(top<tail&&et-que[top]>=num)++top;u=que[top];ret=max(ret,sa[et>=num?et-num:et]+sa[u>=num?u-num:u]+sum[et]-sum[u]);while(top<tail&&sa[et>=num?et-num:et]>=sa[que[tail-1]>=num?que[tail-1]-num:que[tail-1]]+sum[et]-sum[que[tail-1]])--tail;que[tail++]=et;}return ret;
}
void build()
{cnt=1;memset(head,0,sizeof(head));memset(visit,0,sizeof(visit));n=getint();for(i=1;i<=n;i++){next[i]=getint();len[i]=getint();add(next[i],i,len[i]);}
}
stack<int>sk;
int fa[N];
void dfs(int x)
{if(s[x].edge==0){sk.pop();if(s[x].flag2)ret=max(ret,s[x].max1+s[x].max2);if(visit[x]==-1)return ;x = sk.top();{int v,tt=s[x].edge;v=e[tt].v;visit[v]=i;s[x].temp=s[v].max1+e[tt].len;if(s[x].max1<s[x].temp){if(s[x].flag1)s[x].max2=s[x].max1,s[x].flag2=1;else s[x].flag1=1;s[x].max1=s[x].temp;}else if(s[x].max2<s[x].temp)s[x].max2=s[x].temp,s[x].flag2=1;s[x].edge=e[tt].next;}return ;}int v,tt=s[x].edge;v=e[tt].v;if(visit[v]==-1){s[x].edge=e[tt].next;return ;}fa[v]=x;s[v].edge=head[v];sk.push(v);
}
long long handle(int x)
{s[x].edge=head[x];sk.push(x);while(!sk.empty()){dfs(sk.top());}return s[x].max1;
}/*handle(long long)+dfs(void)=dfs(long long)*/
/*long long dfs(int x)
{int et,v,flag1,flag2;long long max1,max2;for(max1=max2=0,flag1=flag2=0,et=head[x];et;et=e[et].next){v=e[et].v;if(visit[v]==-1)continue;temp=dfs(v)+e[et].len;visit[v]=i;if(max1<temp){if(flag1)max2=max1,flag2=1;max1=temp;flag1=1;}else if(max2<temp)max2=temp,flag2=1;}if(flag2)ret=max(ret,max1+max2);return max1;
}*/
int main()
{int u,v;build();for(i=1;i<=n;i++){if(!visit[i]){for(u=i;!visit[u];u=next[u]){visit[u]=i;}if(visit[u]==i){ret=0;cnt=0;visit[u]=-1;for(v=next[u];v!=u;v=next[v]){visit[v]=-1;}v=u;do{pre[cnt]=len[v];sa[cnt++]=handle(v);v=next[v];}while(v!=u);ans+=dp(cnt);}}}cout<<ans;return 0;
}

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