洛谷 P1719 最大加权矩形（前缀和，动态规划）

题目描述

为了更好的备战NOIP2013，电脑组的几个女孩子LYQ,ZSC,ZHQ认为，我们不光需要机房，我们还需要运动，于是就决定找校长申请一块电脑组的课余运动场地，听说她们都是电脑组的高手，校长没有马上答应他们，而是先给她们出了一道数学题，并且告诉她们：你们能获得的运动场地的面积就是你们能找到的这个最大的数字。

校长先给他们一个N*N矩阵。要求矩阵中最大加权矩形，即矩阵的每一个元素都有一权值，权值定义在整数集上。从中找一矩形，矩形大小无限制，是其中包含的所有元素的和最大。矩阵的每个元素属于[-127,127],例如

0 –2 –7 0
9 2 –6 2
-4 1 –4 1
-1 8 0 –2
在左下角：

9 2
-4 1
-1 8
和为15。

几个女孩子有点犯难了，于是就找到了电脑组精打细算的HZH，TZY小朋友帮忙计算，但是遗憾的是他们的答案都不一样，涉及土地的事情我们可不能含糊，你能帮忙计算出校长所给的矩形中加权和最大的矩形吗？

输入格式

第一行：n，接下来是n行n列的矩阵。

输出格式

最大矩形（子矩阵）的和。

输入输出样例
输入 #1 复制
4
0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2
输出 #1 复制
15

说明/提示

n<=120

分析：

第一种做法：

设a[i][j]是每个元素的权值，d[i][j]是以（1，1）为左上角，（i，j）为右下角的矩形的元素权值之和。
d[i][j]=d[i][j-1]+d[i-1][j]-d[i-1][j-1]+a[i][j]
矩形中某一个以（p，k）为左上角，（i，j）为右下角的矩形的权值之和为d[i][j]-d[k-1][j]-d[i][p-1]+d[k-1][p-1]。
可以四层循环找到最大加权矩形。

第二种做法：

假设最终找到的权值之和最大的矩阵的行数为x，那么列举x的可能性。比如一个3*3的矩阵，x可能是1，2，3。
当x=1时，就相当于普通的最大子段和，有三种可能，可能是第一行，第二行或者第三行。
当x=2时，则把两行的每列的值相加，转换成一行，做普通的最大子段和，有二种可能，可能是第一行和第二行或者第二行和第三行。
当x=3使，则把三行的每列的值相加，转换成一行，做普通的最大子段和，只有一种可能，是第一行和第二行和第三行。
求出每列的前缀和，这样后续求l-r行的每列的和就比较方便。

第一种做法的代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N = 120+10;
const int mod = 10007;
int a[N][N],d[N][N];
int main()
{int n;scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++){scanf("%d",&a[i][j]);d[i][j]=d[i][j-1]+d[i-1][j]-d[i-1][j-1]+a[i][j];}}int mx=0;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++){for(int k=1;k<i;k++){for(int p=1;p<j;p++){if(d[i][j]-d[k-1][j]-d[i][p-1]+d[k-1][p-1]>mx) mx=d[i][j]-d[k-1][j]-d[i][p-1]+d[k-1][p-1];}}}}printf("%d",mx);return 0;
}

第二种做法的代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N = 120+10;
const int mod = 10007;
int a[N][N],b[N][N],dp[N];
int main()
{int n;scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++){scanf("%d",&a[i][j]);b[i][j]+=b[i-1][j]+a[i][j];//每列的前缀和 }}int mx=0,x;/*for(int i=1;i<=n;i++) {for(int j=1;j<=n-i+1;j++){memset(dp,0,sizeof(dp));for(int k=1;k<=n;k++) //最大子段和的一种写法 {x=b[j+i-1][k]-b[j-1][k];dp[k]=max(dp[k-1]+x,x);mx=max(dp[k],mx);}}}*/for(int i=1;i<=n;i++) //枚举最大权值之和的矩阵的可能的行数 {for(int j=1;j<=n-i+1;j++)//设定j是矩阵的第一行 {int sum=0;for(int k=1;k<=n;k++) //最大子段和的一种写法 {x=b[j+i-1][k]-b[j-1][k];//j行-j+i-1行的第k列的权值之和 sum+=x;if(sum<0) sum=0;mx=max(mx,sum);}}}printf("%d",mx);return 0;
}