基本极限定理（切比雪夫不等式，大数定律，中心极限定理）

人们在长期的实践中发现，虽然个别事件在某次试验中可能发生也可能不发生，但在大量重复实验中却呈现明显的规律性，即一个随机事件发生的频率在某个固定数的附近摇摆，这就是所谓“频率的稳定性”。

这里介绍的就是概率论的理论基础！戳这里：概率论思维导图

切比雪夫不等式

设随机变量X的数学期望 $E(X)=\mu$ ，方差 $D(X)=\sigma ^{2}$ ，对任意的 $\varepsilon >0$ ，有

$P\begin{Bmatrix} \begin{vmatrix} X-\mu \end{vmatrix}\geqslant \varepsilon \end{Bmatrix}\leqslant \frac{\sigma ^{2}}{\varepsilon ^{2}}$

即

$P\begin{Bmatrix} \begin{vmatrix} X-\mu \end{vmatrix}< \varepsilon \end{Bmatrix}\geqslant 1- \frac{\sigma ^{2}}{\varepsilon ^{2}}$

例题：

已知随机变量X的数学期望E(X)=100，方差D(X)=10，试估计X落在(80,120)内的概率

解：

由切比雪夫不等式

$P\begin{Bmatrix} 80<X<120 \end{Bmatrix}=P\begin{Bmatrix} \begin{vmatrix} X-100 \end{vmatrix}<20 \end{Bmatrix}\geqslant 1-\frac{10}{20^{2}}=0.975$

大数定理

伯努利大数定理

设 $Y_{n}$ 是n重伯努利试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，对于任意的 $\varepsilon >0$ ，有

$\underset{n\rightarrow \infty}{lim}P\begin{Bmatrix} \begin{vmatrix} \frac{Y_{n}}{n}-p \end{vmatrix}\geqslant \varepsilon \end{Bmatrix}=0$

该定理表明，当n充分大时，事件A发生的频率 $\frac{Y_{n}}{n}$ 与概率p的差的绝对值大于任意指定正数 $\varepsilon$ 的概率可以任意小。

切比雪夫大数定理

设相互独立的随机变量 $X_{1},X_{2},...,X_{n},...$ 分别具有数学期望 $E(X_{1}),E(X_{2}),...E(X_{n}),...$ 及方差 $D(X_{1}),D(X_{2}),...,D(X_{n})...$ ，若存在常数C，使

$D(X_{i})\leqslant C,i=1,2,...$

则对于任意的 $\varepsilon >0$ ，有

$\underset{n\rightarrow \infty}{lim}P\begin{Bmatrix} \begin{vmatrix} \frac{1}{n}\sum^{n}_{i=1}X_{i}-\frac{1}{n}\sum^{n}_{i=1}E(X_{i}) \end{vmatrix}\geqslant \varepsilon \end{Bmatrix}=0$

推论

设相互独立的随机变量 $X_{1},X_{2},...,X_{n},...$ ，服从相同的分布，且 $E(X_{i})=\mu ,D(X_{i})=\sigma ^{2}(i=1,2,...)$ ，则对任意的 $\varepsilon >0$ ，有

$\underset{n\rightarrow \infty}{lim}P\begin{Bmatrix} \begin{vmatrix} \frac{1}{n}\sum^{n}_{i=1}X_{i}-\mu \end{vmatrix}\geqslant \varepsilon \end{Bmatrix}=0$

中心极限定理

同分布的中心极限定理

设相互独立的随机变量 $X_{1},X_{2},...,X_{n},...$ 服从相同的分布，且 $E(X_{i})=\mu ,D(X_{i})=\sigma ^{2}\neq 0(i=1,2,...)$ ，则随机变量

$Y_{n}=\frac{\sum^{n}_{i=1}X_{i}-n\mu }{\sqrt{n}\sigma }$

的分布函数 $F_{n}(x)=P\begin{Bmatrix} Y_{n}\leqslant x \end{Bmatrix}$ 对任意实数x，满足

$\underset{n\rightarrow \infty }{lim}F_{n}(x)=\int_{-\infty }^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{-\frac{t^{2}}{2}}dt=\Phi (x)$

该定理的结论也可以写为：对于任意的a<b，有

$\underset{n\rightarrow \infty}{lim}P\begin{Bmatrix} a<Y_{n}\leqslant b \end{Bmatrix}=\underset{n\rightarrow \infty}{lim}P\begin{Bmatrix} a< \frac{\sum^{n}_{i=1}X_{i}-n\mu }{\sqrt{n}\sigma }\leqslant b \end{Bmatrix}=\Phi (b)-\Phi(a)$

棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理

设 $Y_{n}\sim B(n,p),n=1,2,...$ ,其中0<p<1，q=1-p，则对任意实数x，有

$\underset{n\rightarrow \infty}{lim}P\begin{Bmatrix} \frac{Y_{n}-np }{\sqrt{npq} }\leqslant x \end{Bmatrix}=\int_{-\infty }^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{-\frac{t^{2}}{2}}dt=\Phi (x)$

例题：

某车间有200台车床，在生产时间内有于需要检修、调换刀具、变换位置、调换工件等常需停车。设开工率为0.6，并设每台车床的工作是独立的。在开工时需电1kW。问应供应该车间多少千瓦电力才能以99.9%的概率不会因为供电不足而影响生产。

解：

设应供应N kW电力，而某时刻工作着的车床数为X，显然 $X\sim B(200,0.6)$