【模板】负环

题目描述

给定一个 nnn 个点的有向图，请求出图中是否存在从顶点 111 出发能到达的负环。

负环的定义是：一条边权之和为负数的回路。

输入格式

本题单测试点有多组测试数据。

输入的第一行是一个整数 TTT，表示测试数据的组数。对于每组数据的格式如下：

第一行有两个整数，分别表示图的点数 nnn 和接下来给出边信息的条数 mmm。

接下来 mmm 行，每行三个整数 u,v,wu, v, wu,v,w。

若 w≥0w \geq 0w≥0，则表示存在一条从 uuu 至 vvv 边权为 www 的边，还存在一条从 vvv 至 uuu 边权为 www 的边。
若 w<0w < 0w<0，则只表示存在一条从 uuu 至 vvv 边权为 www 的边。

输出格式

对于每组数据，输出一行一个字符串，若所求负环存在，则输出 YES，否则输出 NO。

样例 #1

样例输入 #1

样例输出 #1

NO
YES

提示

数据规模与约定

对于全部的测试点，保证：

1≤n≤2×1031 \leq n \leq 2 \times 10^31≤n≤2×103，1≤m≤3×1031 \leq m \leq 3 \times 10^31≤m≤3×103。
1≤u,v≤n1 \leq u, v \leq n1≤u,v≤n，−104≤w≤104-10^4 \leq w \leq 10^4−104≤w≤104。
1≤T≤101 \leq T \leq 101≤T≤10。

提示

请注意，mmm 不是图的边数。

题解

题意

传送门：link

给你 TTT 个图，每个图有 nnn 个点和 mmm 条由 uuu 到 vvv 边权为 www 的边。

现给你这 mmm 条边，求图中是否有负环。

做法

算法分析

根据题的大意我们可以看出，这是一道单源最短路的题目。

单源最短路算法有 dij 和 SPFA，那这道题应该用哪道算法呢？

我们看一下数据范围：

1≤n≤2×1031 \leq n \leq 2 \times 10^31≤n≤2×103，1≤m≤3×1031 \leq m \leq 3 \times 10^31≤m≤3×103。
1≤u,v≤n1 \leq u, v \leq n1≤u,v≤n，−104≤w≤104-10^4 \leq w \leq 10^4−104≤w≤104。
1≤T≤101 \leq T \leq 101≤T≤10。

很明显会有负环，这时 dij 就行不通了，我们就需要用 SPFA 了。

算法讲解

SPFA 为能够有效判断负环的一种单源最短路算法，但其算法复杂度比不上 dij，在存在菊花图的情况下，很容易原地爆炸。

但由于能够判断负环的性质，才使得它在同类最短路算法中没有被淘汰（可应用于 Johnson 全源最短路算法中），其主要思想为贪心。

SPFA 的独特性质在于他的一个点能够不止一次进队，这个特点有利也有弊，

利在于它可以通过入队次数来判断负环；

弊在于它容易被卡（关于SPFA，他死了）。

但在此题中它能完美胜任 dij（他不能判负环）。

算法实现

答题思路很简单，先链式前向星存图，再用 SPFA 遍历即可，所以问题在于 SPFA 的整体框架。

收我们需要一个队列，先把 111 号点存进去，再遍历到与 111 号点所连接着的点，依次松弛、入队，如果一个点入队次数大于等于 nnn 就直接输出 YES 接着 return；如果队列为空了，但依旧没有输出 YES 就输出 NO。

Code

源代码 - C++

//注释极少版
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <queue>using namespace std;
int t,cnt;
int dis[10001],v[10001];
int head[10001],tim[10001];struct Node{int to,next,dis;
}edge[100001];void add(int t1,int t2,int t3) {//存图cnt++;edge[cnt].to=t2;edge[cnt].dis=t3;edge[cnt].next=head[t1];head[t1]=cnt;
}void SPFA_dui(int n) {queue<int> q;memset(dis,0x3f,sizeof(dis));memset(v,0,sizeof(v));memset(tim,0,sizeof(tim));//初始化dis[1]=0;v[1]=1;q.push(1);//加入 1while (!q.empty()) {int x=q.front();q.pop();v[x]=0;for (int i=head[x];i;i=edge[i].next) {//链式前向星遍历int y=edge[i].to;if (dis[y]>dis[x]+edge[i].dis) {//relaxdis[y]=dis[x]+edge[i].dis;tim[y]=tim[x]+1;if (tim[y]>=n) {//有负环cout<<"YES"<<endl;return;}if (!v[y]) {//入队v[y]=1;q.push(y);}}}}cout<<"NO"<<endl;}int main() {scanf("%d",&t);for (int i=1;i<=t;i++) {memset(head,0,sizeof(head));//有多组数据，记得清空int n,m;scanf("%d%d",&n,&m);for (int j=1;j<=m;j++) {int t1,t2,t3;cin>>t1>>t2>>t3;add(t1,t2,t3);if (t3>=0) {add(t2,t1,t3);}}SPFA_dui(n);cnt=0;}
}

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