线性代数学习笔记3-4：描述线性变换的空间压缩情况（列空间、秩）

已经知道，矩阵对应线性变换，而线性变换可能会压缩空间
当然，空间被压缩降维的程度也有大有小：若被压缩为一维，则对应一条线；若被压缩为二维，则对应一个平面；

那么，如何衡量线性变换后的维度压缩程度呢？——使用列空间和秩的概念

列空间：线性变换后的向量空间

矩阵 A \mathbf A A的列空间，记为 C ( A ) C(\mathbf A) C(A)，其定义如下：

列空间是：线性变换后，新的基向量的张成空间（张成空间：向量所有可能的线性组合构成的集合）
i.e. 基向量在线性变换后，能够描述出的空间
列空间是：矩阵的列向量张成的空间（因为矩阵 A \mathbf A A的各个列向量，就是变换后的基向量坐标）

矩阵 A \mathbf A A有 n n n列/ n n n个列向量，那么列空间一定是 R n \mathbf R^n Rn的子空间

注意，零向量一定在列空间中（因为列空间也是向量空间，任何向量空间必包含零向量，并且由此可知，线性变换必须保证原点位置不变）

进一步举例说明列空间：

2x4矩阵，由于列向量只有两个分量，列空间必为 R 2 \mathbf R^2 R2的子空间（行数量对应向量所属的坐标系的维数；行的数量为2，则向量最多两个坐标，这就限制了一个向量最多能描述的空间是 R 2 \mathbf R^2 R2）
若行向量无关，则满秩，此时列空间为二维平面（列秩为2，存在多余列向量）
5x2矩阵，由于列向量有五个分量，列空间必为 R 5 \mathbf R^5 R5的子空间
即使列向量无关，即列向量最多张成一个平面，列秩最多为2（注意，这个平面不是 R 2 \mathbf R^2 R2，因为有5个坐标， R 2 \mathbf R^2 R2容不下，这个平面应该理解为五维空间 R 5 \mathbf R^5 R5中的二维平面）

秩：定量描述线性变换后的空间维度

矩阵 A \mathbf A A的秩是：

矩阵的秩是：线性变换后空间的维数（秩越小，变换后空间被压缩的程度越严重）
矩阵的秩是：列空间的维数=线性无关的列向量个数(严格说，列空间的维数是列秩，但是「秩」=「列秩」=「行秩」)

为什么「秩」=「列秩」=「行秩」？
把列看做列向量，则行是每个列向量在列空间各个坐标轴上的投影（坐标），行的数量则是列空间坐标系的维数
如果矩阵有m个不相关的列向量（变换后有m个不相关的基向量），就应该张成m维的列子空间，进而不相关的行向量个数（坐标分量个数）也应该是m

⇒ \Rightarrow ⇒矩阵满秩：线性变换后空间没有被压缩（线性变换前的空间维数=列空间的维数）

矩阵不是列满秩 ⟺ \iff ⟺矩阵的列向量线性相关（变换后存在着多余的、对张成空间没有贡献的基向量，列空间维数<原空间）

考虑3x3的矩阵和三维空间：
矩阵的秩为3，则线性变换后空间被仍充满整个三维空间，也称变换的秩为3；
矩阵的秩为2，则线性变换后空间被压缩为一个平面，也称变换的秩为2；
矩阵的秩为1，则线性变换后空间被压缩为一条直线，也称变换的秩为1；
对于 n × n n \times n n×n的矩阵，秩最大为 n n n，意义是：变换后的空间维度最大为 n n n（变换后基向量的张成空间span最大为 n n n维）
推论：行列式为零 ⟺ \iff ⟺矩阵不满秩（两者意义相同：线性变换后空间被压缩降维）

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