1.文法及语言的形式表示

每一门编程语法都是有它自己的语法的，实际上，任何程序均可以看做是一定字符集上的一个字符串，而判定一个字符串是否为一个程序上合法的程序，其依据的则是语言的文法。

语言的文法是一组规则，包含词法规则和语法规则。

词法规则是描述语言单词符号构成规则的。单词符号包括：关键字、标识符(变量名或函数名等)、常数、运算符等。词法规则的描述工具通常为正规文法（正规式、有限自动机）。

语法规则是描述语言语法单位构成规则的。语法单位包括：表达式、语句、函数、过程等。语法规则的描述工具常为：上下文无关文法。

文法是描述语言结构的形式规则，一般分为四个类型：0型、1型、2型、3型。其中2型即为上下文无关文法，是描述程序语言语法的有效工具，3型即正规文法，是描述程序语言词法的有效工具。

(最常见的文法的分类系统是诺姆·乔姆斯基于1956年发展的乔姆斯基谱系，这个分类谱系把所有的文法分成四种类型：无限制文法、上下文相关文法、上下文无关文法和正规文法。四类文法对应的语言类分别是递归可枚举语言、上下文相关语言、上下文无关语言和正规语言。)

2.文法和语言的形式定义

定义1：产生式（或规则）

产生式是一个有序对（A,α），通常记作A→α（或A::=α），其中A称为产生式的左部符号，α为产生式的右部有穷符号串，“→”表示“定义为”或“由…组成”。

定义2：文法

文法是一个四元组G[S]=(Vn,Vt,P,S),其中Vn为非空有穷集，其每个元素为非终结符，Vt为非空有穷集，其每个元素为终结符，由定义可知Vn∩Vt=Φ，文法符号集V=Vn∪Vt，P为产生式的有穷集合，每个产生式的形式为：A→α，A∈Vn，α∈V*，S为文法的开始符号S∈Vn。

Vn:非空有限的非终结符集合

Vt:非空有限的终结符集

S：开始符号

P：产生式集合

其中，Vn∩Vt=∅，S∈Vn

P中产生式一般形式为A→α|β，其中A∈Vn，α，β∈(Vn∪Vt)*

定义3：推导与归约

设G[S]=(Vn,Vt,P,S)是给定文法，x,y,A,β∈V*，且A→β∈P,此时符号串xAy能够直接产生出符号串xβy，我们称符号串xβy是符号串xAy的直接推导，或符号串xAy是符号串xβy的直接归约，记作xAy⇒xβy。

定义4：句型和句子

设G[S]=(Vn,Vt,P,S)是给定文法

若S⇒α，α∈V，则称α为文法G的句型。

若S⇒+α，α∈Vt*，则称α为文法G的句子。

例如：<无符号整数>、<数字串>、<数字串><数字>、<数字><数字>、5<数字>、56等均为文法的句型。而7、78、98、1212、32343、均为文法的句子。

定义5：语言

文法G[S]产生的所有句子的集合，称为文法G[S]所定义的语言，记为L(G[S])，即L(G[S])={w|w∈Vt*，且S⇒*w}。

例如：
求此文法所产生的语言。

通过产生式P我们可以知道，此文法产生的语言是：以终结符a1,a2,…an为运算对象，以∧∨ ~为运算符，以[ , ]为分隔符的布尔表达式串。

定义6：规范推导与规范规约

对于直接推导xAy⇒xβy，如y为Vt串或空符号串，则这种推导就称为规范推导（最右推导）；与其对应的规约称为规范规约（最左规约）

例如：规范推导过程
<无符号整数>⇒<数字串>
⇒<数字串><数字>
⇒<数字串>6
⇒<数字>6
⇒66
同时，规范推导所得到的句型称为规范句型（最右句型）

形式语言理论的两个结论
（1）给定一个文法G，就能从结构上唯一的确定其语言，即G→L(G)
（2）给定语言L(G),可确定其文法，但其文法不是唯一的。即L→G1或G2…

定义7：等价文法

G1和G2是两个不同的文法如果L(G1)=L(G2),则称G1和G2 为等价文法。

定义8：递归产生式和递归文法

（1）递归产生式：对于文法G=(Vn,Vt,P,S),若A→α∈P,且有α⇒*xAy，则称产生式A→α是递归产生式。
（2）递归文法：含有递归产生式的文法称为递归文法，递归文法定义的语言集L(G)是无穷的，即递归文法可用有穷的产生式来描述无穷的语言。

定义9：短语、直接短语和句柄

设G[S]=(Vn,Vt,P,S)是给定文法，U∈Vn，x,y,u∈V*，

（1）若有S⇒*xUy⇒+xuy,则称u是句型xuy相对于非终结符号U的短语，特别的若有S⇒*xUy⇒xuy，则称u是句型xuy相对于U的直接短语。其中*表示零步以上推导，+表示一步以上推导。

（2）句型的最左直接短语称为该句型的句柄。

例如:
<无符号整数>⇒<数字串>
⇒<数字串><数字>
⇒<数字串>6
⇒<数字>6
⇒66
6 是句型 <数字>6 相对于 <数字> 的短语
<数字>6 是句型 <数字>6 相对于 <数字串> 的短语
<数字> 是句型 <数字>6 相对于 <数字串> 的直接短语，并且是句柄

定义10：文法的二义性

若文法中存在一个句子对应两棵不同的语法树，则称此文发为二义性文法。

例如：文法G[E]的产生式集合如下：E→ E + E | E * E | (E) | i
其句子i * i + i 的语法树有如下两棵

综合训练

解：(1)aacb是G[S]中的句子。
最左推导如下：
S⇒aAcB
⇒aacB (由A→a推导出)
⇒aacb (由B→b推导出)
最右推导如下：
S⇒aAcB
⇒aAcb (由B→b推导出)
⇒aacb (由A→a推导出)
语法树如下：

直接短语如下：
a是句型aacb相对于A的句柄；
b是句型aacb相对于aAcB的短语
b是句型aAcb相对于aAcB的直接短语

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