形式语言与自动机——第三章上下文无关文法与下推自动机

文章目录

3.1 推导树与二义性
3.2 上下文无关文法的改写
- 3.2.1 CFG的最简化
- 3.2.2 CFG的变换
- - 3.2.2.1 去除可零化的非终结符
  - 3.2.2.2 去除单产生式
  - 3.2.2.3 去除左递归（递归文法）
3.3 chomsky范式、greibach范式
- 3.3.1 改写为chomsky范式
- 3.3.2 改写为greibach范式

该章主要内容：

上下文无关文法（CFG）
Chomsky范式和，Greibach范式
确定下推自动机、非确定下推自动机（Pushdown Automaton）
对任何CFA都能找到一种具有特有形式的等价CFG（Context-Free Grammar）

上下文无关文法对应的识别器是下推自动机。

确定的下推自动机对应于上下文无关语言的一个子集（大部分的程序设计语言）。

3.1 推导树与二义性

定义：Tree是CFG G=(N,T,P,S)的语法树，是一颗有序树。

树根：S
枝结点是非终结符
叶子结点是终结符或ε
枝特点A有直接子孙ｘ1ｘ2…ｘi,则A→ｘ1ｘ2…ｘi

例：G＝(｛E｝，｛+，＊，i,（，）,｝，P，E)
E→ E+E｜E＊E｜(E)｜i

句子：(a*a+a)

定义：CFG G=(N,T,P,S)如果存在，S ω G是有一棵叶子为ω的语法树

定义：CFG G是二义的 等价于 ω∈L(G),有两棵不同的语法树(叶子为ω)

定义：CFG G是二义的 等价于 ω∈L(G)，有两T不同的最左(右)推导

文法二义无法推出语言二义，语言二义可以推出其文法均二义

文法的二义性的举例：

左边的树在展开的时候先展开运算符，右边的树在展开的时候先展开+运算符，如果运算的定义无结合律则会存在二义性。23+5=11；2*(3+5)=16

3.2 上下文无关文法的改写

我们约定俗成：大写为非终结符，小写为终结符

为了解决文法可能存在的二义性问题，我们引入上下文无关文法的改写。在不改变文法描述能力前提下改写文法满足一定要求。改写目标：将CFG改写成某种标准形式.

(1) 改写成Chomsky范式： A→ BC｜a A,B,C∈N a∈T

(2) Greibach范式 A→ a阿尔法阿尔法∈N*, a∈T

3.2.1 CFG的最简化

但是在改写之前我们必须要做一件事，就是CFG的最简化

我们要分别有用符号和无用符号。

补充：START

END
4月29日录播 1:10:54

3.2.2 CFG的变换

到这里我们来总结一下上面的内容。我们的目标是去除文法的二义性，首先要去除无用符号，接下来要去除可零化的终结符。我们这节就来说“去除可零化的非终结符”。

3.2.2.1 去除可零化的非终结符

定义:若在CFG中，一个非终结符经过若干次推导可以推出空字，那么这个非终结符称为可零化的非终结符。

举例

从P中去掉单独非终结符直接产生单独空字的产生式，去掉后的产生式集记为P’
把第一步中去掉的产生式代入其他产生式，把新的产生式加入P’’
把P’’ 并入 P’，再加入新的非终结符，假如为S’，再把S’推出S和S’推出空字加入P’

则最终结果是G’ = ({S, S’}, {a,b},P’,S’)

具体推导过程参加腾讯课堂录播“文法改写”第1:35:00

补充：这个办法有点生搬硬套了，一般方法参见https://www.bilibili.com/video/BV1oE4116794?p=24，9分04秒。

3.2.2.2 去除单产生式

单产生式形如 “A → B”，且AB均属于N。

当G是无空字产生式的CFG，但存在单产生式，可以利用算法2构成一个无单产生式的等效方法G1。

例子：

视频“文法改造2:03:00”，

补充：参照https://www.bilibili.com/video/BV1oE4116794?p=24，9分04秒

3.2.2.3 去除左递归（递归文法）

3.3 chomsky范式、greibach范式

我们先来总结一下上面的内容，从头到尾其实都在说CFG的改写。分别是：

去无用符
去空字
去单产生式
去左递归，这里还可以细分为直接递归和间接递归
去二义性

而我们今天要继续讲把CFG转化为C范式或G范式。

3.3.1 改写为chomsky范式

补充：

3.3.2 改写为greibach范式

定义：

由于在改写为G范式之前还要再消一次左递归，详情见视频G范式34min46s

正文

方法一：直接转法
从CFG直接转成G范式
参见https://www.bilibili.com/video/BV1oE4116794?p=25，视频最后一个例题。

方法一：两步转法
我们先从CFG改写为C范式，再有C范式改写为G范式。