算法解析——矩阵快速幂

一.简介

矩阵快速幂是一种对于矩阵连乘非常有效的算法

以矩阵AAA为例，对于AnA^nAn，如果按照正常的方法，时间复杂度为O(n)O(n)O(n)，可如果考虑矩阵快速幂，我们可以将时间复杂度优化到O(log⁡n)O(\log n)O(logn)

二.快速幂

先考虑常数的情况，设有常数xxx，对于xnx^nxn，不妨如下考虑：

假如n=100110n=100110n=100110，那么xn=x100110=x100000∗x000100∗x000010x^n=x^{100110}=x^{100000}*x^{000100}*x^{000010}xn=x100110=x100000∗x000100∗x000010，对于这种情况，我们可以采用如下方法进行优化

if __name__ == '__main__':n = 10x = 2sum = xans = 1while n > 0:a = n & 1if a == 1:ans *= sumsum *= sumn >>= 1print(ans)

其原理就是用ansansans记录答案，再用一个变量sumsumsum记录当前是xxx的几次方（如：x100000,x000100,x000010x^{100000},x^{000100},x^{000010}x100000,x000100,x000010），对于nnn的每一位进行判断，判断其是否为111，每次是nnn的该位为111就拿ansansans乘以该sumsumsum，最后ansansans的结果即为所求

等于说，本题的算法复杂度实际上是nnn的二进制位数，即O(log⁡n)O(\log n)O(logn)

三.矩阵快速幂

如果常数可以进行快速幂，那么矩阵同样可以，唯一不同的就在于每次进行的sum∗sum,ans∗sumsum*sum,ans*sumsum∗sum,ans∗sum是矩阵之间的乘法，而不是常数之间的乘法，虽然会增加一定的复杂度，但这些复杂度的增加是常数级别的，最终的时间复杂度仍然为O(log⁡n)O(\log n)O(logn)

四.矩阵快速幂的应用

矩阵快速幂可以用于斐波那契数列的求和中

斐波那契数列的公式如下：f(n)=f(n−1)+f(n−2)f(n)=f(n-1)+f(n-2)f(n)=f(n−1)+f(n−2)，对其进行一定的改写，我们可以得出{f(n)=f(n−1)+f(n−2)f(n−1)=f(n−1)\begin {cases} f(n)=f(n-1)+f(n-2) \\ f(n-1)=f(n-1)\end{cases}{f(n)=f(n−1)+f(n−2)f(n−1)=f(n−1)

将其转换成矩阵乘法，我们有[f(n)f(n−1)]=[1110][f(n−1)f(n−2)]=[1110]n−2[f(2)f(1)]\left[\begin{matrix} f(n) \\ f(n-1)\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 1 \ 1 \\ 1 \ 0\end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} f(n-1) \\ f(n-2)\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} 1 \ 1 \\ 1 \ 0\end{matrix}\right]^{n-2} \left[\begin{matrix} f(2) \\ f(1)\end{matrix}\right][f(n)f(n−1)]=[1 11 0][f(n−1)f(n−2)]=[1 11 0]n−2[f(2)f(1)]

即我们可以直接通过公式+矩阵快速幂得到斐波那契数列的解，时间复杂度为求解[1110]n−2\left[\begin{matrix} 1 \ 1 \\ 1 \ 0\end{matrix}\right]^{n-2}[1 11 0]n−2的时间复杂度，即O(log⁡n)O(\log n)O(logn)