动态规划——状态转移方程

2024-05-11 07:54:15

DP问题的核心即确定动态转移方程。

（1）寻找变量，确定子问题。DP表一般为二维，故需要两个变量。

（2）寻找总问题与子问题迭代关系，确定中间值、迭代值

例1：

有5个物品，其重量分别是{2, 2, 6, 5, 4}，价值分别为{6, 3, 5, 4, 6}，背包的容量为10，计算背包所能装入物品的最大价值。

（1）寻找变量

在这个问题中，每个物品所对应的重量与价值是确定的。故将物品数量与可分配容量作为变量。

总问题转化为在前5件物品中挑选容量不超过10的物品，使价值最大。

子问题转化为在前 $i$ 件物品中挑选容量不超过 $W$ 的物品，使价值最大。

（2）迭代关系

状态值：最大价值

DP表中状态值一般包含两种情形：当前问题仍保留前一个状态值作最优解；通过中间值更新当前问题的最优解。通过第二种情形可以确定所有子问题的最优解。

中间值：更新当前问题的最优解时，需要对前一个状态值累加中间值。背包问题的中间值就是更新最优解时加入物品的价值。

存在两种情况：

（1）如果第i个物品没有装入背包，则背包中物品的价值就等于把前i-1个物品装入容量为j的背包中所取得的价值。而第一种情况又可以细分为以下两种情况

① 背包可分配容量不够

② 可以加入背包，但加入后的总价值低于不加入时只考虑前i-1个物品的总价值，即不加入此物品可以更好的分配其他物品从而获得最优解。

（2）如果把第i个物品装入背包，则背包中物品的价值等于把前i-1个物品装入容量为j-wi的背包中的价值加上第i个物品的价值vi；

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