写出杨辉三角_认识杨辉三角
杨辉三角形,又称贾宪三角形,帕斯卡三角形,是二项式系数在三角形中的一种几何排列。
北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算。
杨辉,字谦光,南宋时期杭州人。在他1261年所著的《详解九章算法》一书中,辑录了如上所示的三角形数表,称之为“开方作法本源”图,并说明此表引自11世纪前半贾宪的《释锁算术》,并绘画了“古法七乘方图”。故此,杨辉三角又被称为“贾宪三角”。
在欧洲直到1623年以后,法国数学家帕斯卡在13岁时发现了“帕斯卡三角”。
杨辉三角我们首先从一个二次多项式(a+b) 2的展开式来探讨。
由上式得出: (a+b)2=a2+2ab+b2 此代数式的系数为: 1 2 1
则(a+b) 3的展开式是什么呢?答案为:a3+3a2b+3ab2+b3
由此可发现,此代数的系数为: 1 3 3 1
但似乎没有什么规律,所以让我们再来看看(a+b) 4的展开式。
展开式为:a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
由此又可发现,代数式的系数为: 1 4 6 4 1
似乎发现了一些规律,就可以发现以下呈三角形的数列:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
首先我们把杨辉三角的每一行分别相加,如下:
1 ( 1 )
1 1 ( 1+1=2 )
1 2 1 (1+2+1=4 )
1 3 3 1 (1+3+3+1=8 )
1 4 6 4 1 (1+4+6+4+1=16 )
1 5 10 10 5 1 (1+5+10+10+5+1=32 )
1 6 15 20 15 6 1 (1+6+15+20+15+6+1=64 )
„„
相加得到的数是1,2,4,8,16,32,64,
刚好是2的0,1,2,3,4,5次幂,即杨辉三角第n行中n个数之和等于2的n-1次幂
接下来,请同学们直接写出(a+b)8
8次方我们还可以画杨辉三角把他的系数写出来,但是100次方呢?n次方呢?我们就没法写,所以我们要简单讲下二项式定理:
举个具体的例子
杨辉三角在中考题目中经常出现,现举几个例子
1.(2018年德州)我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中,用如图的三角形解释二项式(a+b)n的展开式的各项系数,此三角形称为“杨辉三角”根据”杨辉三角”请计算(a+b)8的展开式中从左起第四项的系数为( )
A.84 B.56 C.35 D.28
【分析】如果熟悉二项式定理,这种题目可以秒杀,不需要去画杨辉三角。第四项的系数就是
2.(2019春•江都区期中)我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律,称之为“杨辉三角”.这个三角形给出了(a+b)n(n=1,2,3,4,…)的展开式的系数规律(按a的次数由大到小的顺序):
1 1 (a+b)1=a+b
1 2 1 (a+b)2=a2+2ab+b2
1 3 3 1 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
1 4 6 4 1 (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
请根据上述规律,写出的展开式中含x2016项的系数是( )
A.2018 B.4036
C.﹣2016 D.﹣4032
【分析】首先确定x2016是展开式中第几项,根据杨辉三角即可解决问题
【解答】解:(x+)2018展开式中含x2016项的系数,
由(x+)2018=x2018+2018•x2018•()+…
可知,展开式中第二项为2018•x2017•()=4036x2016,
∴(x+)2018展开式中含x2016项的系数是4036,
故选:B.
3.如果(2x﹣1)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,那么(1)a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6= ;(2)a0+a2+a4+a6= .(可用杨辉三角解决)
【分析】已知等式是关于x的恒等式,即x取任意数时,等式成立.
(1)所求式子为恒等式右边系数的和,令x=1即可;
(2)所求式子为恒等式右边系数的和,令x=﹣1即可,与(1)式相加,奇数项系数抵消,可得出偶数项系数的和.
【解答】解:(1)令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=(2×1﹣1)6=1;
(2)令x=﹣l,得a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6=[2×(﹣1)﹣1]6=729;
与(1)式相加,得2a0+2a2+2a4+2a6=730,
解得a0+a2+a4+a6=365.
故答案为:1,365.
3.(2011•凉山州)我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列,其中“杨辉三角”就是一例.如图,这个三角形的构造法则:两腰上的数都是1,其余每个数均为其上方左右两数之和,它给出了(a+b)n(n为正整数)的展开式(按a的次数由大到小的顺序排列)的系数规律.例如,在三角形中第三行的三个数1,2,1,恰好对应(a+b)2=a2+2ab+b2展开式中的系数;第四行的四个数1,3,3,1,恰好对应着(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数等等.
(1)根据上面的规律,写出(a+b)5的展开式.
(2)利用上面的规律计算:25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1.
【分析】(1)由(a+b)=a+b,(a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3可得(a+b)n的各项展开式的系数除首尾两项都是1外,其余各项系数都等于(a+b)n﹣1的相邻两个系数的和,由此可得(a+b)4的各项系数依次为1、4、6、4、1;因此(a+b)5的各项系数依次为1、5、10、10、5、1.
(2)将25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1写成“杨辉三角”的展开式形式,逆推可得结果.
【解答】解:(1)(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5;
(2)原式=25+5×24×(﹣1)+10×23×(﹣1)2+10×22×(﹣1)3+5×2×(﹣1)4+(﹣1)5
=(2﹣1)5
=1
杨辉三角的应用还有很多很多,等同学们读到高中大学,自己去挖掘下这块我国古代数学瑰宝吧。
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