抽象代数 04.06可解群和幂零群

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§4.6 可解群和幂零群{\color{blue}{\text{\S 4.6 可解群和幂零群}}}§4.6 可解群和幂零群

考虑扩张N→G→G/N,什么时候G/N是循环群，更一般的是交换群。考虑扩张N \to G \to G/N,什么时候G/N是循环群，更一般的是交换群。考虑扩张N→G→G/N,什么时候G/N是循环群，更一般的是交换群。
定义4.6.1.设g,h∈G,称[g,h]=g−1h−1gh为g,h的换位子。{\color{blue}定义4.6.1.}设g,h \in G, 称[g,h]=g^{-1}h^{-1}gh为g,h的{\color{blue}换位子}。定义4.6.1.设g,h∈G,称[g,h]=g−1h−1gh为g,h的换位子。
若H,K都是G的子群，我们称若H,K都是G的子群，我们称若H,K都是G的子群，我们称
[H,K]=⟨{[h,k]∣h∈H,k∈K}⟩\qquad [H, K] = \lang \lbrace [h,k] | h \in H, k \in K \rbrace \rang[H,K]=⟨{[h,k]∣h∈H,k∈K}⟩
为H,K的换位子群.为H,K的{\color{blue}换位子群}.为H,K的换位子群.
注记4.6.2.1)换位子群的定义中的“生成”是否可以去掉？或者[g1,h1][g2,h2]是{\color{blue}注记4.6.2.}1)换位子群的定义中的“生成”是否可以去掉？或者[g_1,h_1][g_2,h_2]是注记4.6.2.1)换位子群的定义中的“生成”是否可以去掉？或者[g1,h1][g2,h2]是
否为换位子？否为换位子？否为换位子？
2)[g,h]−1=[g,h].2)[g,h]^{-1} = [g,h].2)[g,h]−1=[g,h].
3)[g,h]=1⇒gh=hg.因此换位子可以用来衡量群G的交换性。3)[g,h] = 1 \Rightarrow gh = hg.因此换位子可以用来衡量群G的交换性。3)[g,h]=1⇒gh=hg.因此换位子可以用来衡量群G的交换性。
4)若α∈Aut G,则α[g,h]=[α(g),α(h)].4)若\alpha \in \mathrm{Aut\;}G,则\alpha[g,h] = [\alpha(g),\alpha(h)].4)若α∈AutG,则α[g,h]=[α(g),α(h)].
5)N⊲G,G/N是Abel群当且仅当N⊂G(1).5)N \lhd G, G/N是Abel群当且仅当N \sub G^{(1)}.5)N⊲G,G/N是Abel群当且仅当N⊂G(1).
猜想4.6.3.(Ore).每个非交换有限单群中的元素都是换位子。{\color{blue}猜想4.6.3.}(Ore).每个非交换有限单群中的元素都是换位子。猜想4.6.3.(Ore).每个非交换有限单群中的元素都是换位子。
Ore(1952)证明了An情形。Ore(1952)证明了A_n情形。Ore(1952)证明了An情形。
例4.6.4.−I2∈SL(2,R)不是换位子。{\color{blue}例4.6.4.}-I_2 \in SL(2, \R)不是换位子。例4.6.4.−I2∈SL(2,R)不是换位子。
引理4.6.5.设H,K是G的子群。则{\color{blue}引理4.6.5.}设H,K是G的子群。则引理4.6.5.设H,K是G的子群。则
1)[H,K]={1}当且仅当H⊂CG(K)当且仅当K⊂CG(H).1)[H,K] = \lbrace 1 \rbrace当且仅当H \sub C_G(K)当且仅当K \sub C_G(H).1)[H,K]={1}当且仅当H⊂CG(K)当且仅当K⊂CG(H).
2)[H,K]⊂K当且仅当H⊂NG(K).2)[H,K] \sub K当且仅当H \sub N_G(K).2)[H,K]⊂K当且仅当H⊂NG(K).
3)H⊲G,K⊲G,则[H,K]⊲G且[H,K]⊂H∩K.特别地[H,H]⊲G,[G,G]⊲G.3)H \lhd G, K \lhd G, 则[H,K] \lhd G 且[H,K] \sub H \cap K.特别地[H,H] \lhd G, [G,G] \lhd G.3)H⊲G,K⊲G,则[H,K]⊲G且[H,K]⊂H∩K.特别地[H,H]⊲G,[G,G]⊲G.
4)H1<H,K1<K,则[H1,K1]⊂[H,K].4)H_1 < H, K_1 < K,则[H_1,K_1] \sub [H, K].4)H1<H,K1<K,则[H1,K1]⊂[H,K].
例4.6.6.G=Sn,G(1).{\color{blue}例4.6.6.}G = S_n, G^{(1)}.例4.6.6.G=Sn,G(1).
定义4.6.7.导出列:G(0)=G,G(k+1)=[G(k),G(k)],k≥0.{\color{blue}定义4.6.7.}导出列:G^{(0)} = G, G^{(k+1)} = [G^{(k)},G^{(k)}], k \geq 0.定义4.6.7.导出列:G(0)=G,G(k+1)=[G(k),G(k)],k≥0.
降中心列:G1=G,Gk+1=[G,Gk],k≥1,(为什么叫降中心列?)降中心列:G^{1} = G, G^{k+1} = [G, G^{k}], k \geq 1, (为什么叫降中心列?)降中心列:G1=G,Gk+1=[G,Gk],k≥1,(为什么叫降中心列?)
升中心列:C0(G)={1},Ck+1(G)=πk−1(C(G/Ck(G))),k≥0.这里πk:G→G/Ck(G).升中心列:C_0(G) = \lbrace 1 \rbrace, C_{k+1}(G) = \pi_{k}^{-1}(C(G/C_k(G))), k \geq 0.这里\pi_k : G \to G/C_k(G).升中心列:C0(G)={1},Ck+1(G)=πk−1(C(G/Ck(G))),k≥0.这里πk:G→G/Ck(G).
例4.6.8.G=S3,A3{\color{blue}例4.6.8.}G = S_3,A_3例4.6.8.G=S3,A3
G=S4⊃A4⊃K4⊃⟨(12)(34)⟩⊃{1}.G = S_4 \supset A_4 \supset K_4 \supset \lang(12)(34) \rang \supset \lbrace 1 \rbrace.G=S4⊃A4⊃K4⊃⟨(12)(34)⟩⊃{1}.
G=Sn,n≥5,G = S_n, n \geq 5,G=Sn,n≥5,
p−群p-群p−群
定义4.6.9.群G中的子群序列{\color{blue}定义4.6.9.}群G中的子群序列定义4.6.9.群G中的子群序列
G=G1⊃G2⊃⋯⊃Gt⊃Gt+1={1}\qquad G = G_1 \supset G_2 \supset \cdots \supset G_t \supset G_{t+1} = \lbrace 1 \rbraceG=G1⊃G2⊃⋯⊃Gt⊃Gt+1={1}
若满足Gi+1⊲Gi(i=1,…,t),则称之为次正规序列,t称为此序列的长度,Gi/Gi+1为此序列的因子。若满足G_{i+1} \lhd G_i(i=1,\dots,t),则称之为{\color{blue}次正规序列},t称为此序列的{\color{blue}长度},G_i/G_{i+1}为此序列的{\color{blue}因子}。若满足Gi+1⊲Gi(i=1,…,t),则称之为次正规序列,t称为此序列的长度,Gi/Gi+1为此序列的因子。
若在上述序列中Gi⊲G,则称此序列为正规序列。若在上述序列中G_i \lhd G,则称此序列为{\color{blue}正规序列}。若在上述序列中Gi⊲G,则称此序列为正规序列。
定义4.6.10.可解群:存在k,使得G(k)={1}.{\color{blue}定义4.6.10.}{\color{blue}可解群}:存在k,使得G^{(k)} = \lbrace 1 \rbrace.定义4.6.10.可解群:存在k,使得G(k)={1}.
幂零群:存在k,使得Gk={1}.{\color{blue}幂零群}:存在k,使得G^{k} = \lbrace 1 \rbrace.幂零群:存在k,使得Gk={1}.
???:群在k,使得Ck(G)=G.(p−群).???:群在k,使得C_k(G) = G.(p-群).???:群在k,使得Ck(G)=G.(p−群).
注记4.6.11.{\color{blue}注记4.6.11.}注记4.6.11.
1)Abel群幂零。
2)幂零群可解，幂零群的中心不是平凡的。
3)可解群和Abel群的来历。
4)Burnside猜想:1902,奇数阶群都是可解的。
Feit-Thompson定理。Feit-Thompson猜想。
5)M.Aschbacher and S. Smith,The classification of quasithin groups I,II pp1221.
引理4.6.12.可解群的子群、商群都是可解群。{\color{blue}引理4.6.12.}可解群的子群、商群都是可解群。引理4.6.12.可解群的子群、商群都是可解群。
反之，N⊲G,N和G/N可解，则G可解。反之，N \lhd G, N和G/N可解，则G可解。反之，N⊲G,N和G/N可解，则G可解。
定理4.6.13.设群G是B过A的扩张，则G可解当且仅当A,B都可解。{\color{blue}定理4.6.13.}设群G是B过A的扩张，则G可解当且仅当A,B都可解。定理4.6.13.设群G是B过A的扩张，则G可解当且仅当A,B都可解。
例4.6.14.∣G∣<60,则G可解。{\color{blue}例4.6.14.}|G| < 60,则G可解。例4.6.14.∣G∣<60,则G可解。
定理4.6.15.设G是群，则下列条件等价:{\color{blue}定理4.6.15.}设G是群，则下列条件等价:定理4.6.15.设G是群，则下列条件等价:
1)G是可解群；1)G是可解群；1)G是可解群；
2)存在G的正规序列G=G1⊃G2⊃⋯⊃Gt+1={1}使得Gi/Gi+1为Abel群;2)存在G的正规序列G = G_1 \supset G_2 \supset \cdots \supset G_{t+1} = \lbrace 1 \rbrace 使得G_i / G_{i+1}为Abel群;2)存在G的正规序列G=G1⊃G2⊃⋯⊃Gt+1={1}使得Gi/Gi+1为Abel群;
3)存在G的次正规序列G=G1′⊃G2′⊃⋯⊃Gs+1′={1}使得Gi/Gi+1为Abel群;3)存在G的次正规序列G=G_1^{\prime} \supset G_2^{\prime} \supset \cdots \supset G_{s+1}^{\prime} = \lbrace 1 \rbrace 使得G_i/G_{i+1}为Abel群;3)存在G的次正规序列G=G1′⊃G2′⊃⋯⊃Gs+1′={1}使得Gi/Gi+1为Abel群;
4)存在G的次正规序列G=G1′′⊃G2′′⊃⋯⊃Gr+1′′={1}使得Gi/Gi+1为素数阶群。4)存在G的次正规序列G=G_1^{\prime \prime} \supset G_2^{\prime \prime} \supset \cdots \supset G_{r+1}^{\prime \prime} = \lbrace 1 \rbrace 使得G_i/G_{i+1}为素数阶群。4)存在G的次正规序列G=G1′′⊃G2′′⊃⋯⊃Gr+1′′={1}使得Gi/Gi+1为素数阶群。
证：3)⇒\Rightarrow⇒ 4)考虑长度最长的满足3)的次正规序列。或者从G的极大真正规子群开始。
引理4.6.16.幂零群的子群、商群都是幂零群。{\color{blue}引理4.6.16.}幂零群的子群、商群都是幂零群。引理4.6.16.幂零群的子群、商群都是幂零群。
反之，N⊲G,N和G/N幂零，则G幂零(?)。反之，N \lhd G,N和G/N幂零，则G幂零(?)。反之，N⊲G,N和G/N幂零，则G幂零(?)。
幂零群过幂零群的中心扩张(扩张核在群的中心里)和平凡扩张是幂零群。幂零群过幂零群的中心扩张(扩张核在群的中心里)和平凡扩张是幂零群。幂零群过幂零群的中心扩张(扩张核在群的中心里)和平凡扩张是幂零群。
注记4.6.17.次正规序列对幂零群不适用。{\color{blue}注记4.6.17.}次正规序列对幂零群不适用。注记4.6.17.次正规序列对幂零群不适用。
定理4.6.18.是G是群，则下列条件等价:{\color{blue}定理4.6.18.}是G是群，则下列条件等价:定理4.6.18.是G是群，则下列条件等价:
1)G是幂零群;1)G是幂零群;1)G是幂零群;
2)存在G的正规序列G=G1⊃G2⊃⋯⊃Gt+1={1}使得[G,Gi]⊂Gi+1;2)存在G的正规序列G=G_1\supset G_2 \supset \cdots \supset G_{t+1} = \lbrace 1 \rbrace使得[G,G_{i}] \subset G_{i+1};2)存在G的正规序列G=G1⊃G2⊃⋯⊃Gt+1={1}使得[G,Gi]⊂Gi+1;
3)存在G的正规序列G=G1⊃G2⊃⋯⊃Gt+1={1}使得Gi/Gi+1⊂C(G/Gi+1);3)存在G的正规序列G = G_1 \supset G_2 \supset \cdots \supset G_{t+1} = \lbrace 1 \rbrace 使得G_i/G_{i+1} \subset C(G/G_{i+1});3)存在G的正规序列G=G1⊃G2⊃⋯⊃Gt+1={1}使得Gi/Gi+1⊂C(G/Gi+1);
4)存在k,使得Ck(G)=G.4)存在k,使得C_k(G)=G.4)存在k,使得Ck(G)=G.
证:3)⇒4)证:3) \Rightarrow 4)证:3)⇒4)
4)⇒1)G/Ck−1是Abel群4) \Rightarrow 1) G/C_{k-1}是Abel群4)⇒1)G/Ck−1是Abel群
例4.6.19.p−群是幂零群。{\color{blue}例4.6.19.}p-群是幂零群。例4.6.19.p−群是幂零群。

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