关于扩展欧几里得算法的证明

证明:
由欧几里得算法知:gcd(a,b)=gcd(b,a%b).
由裴蜀定理知:一定存在x1和y1满足a*x1+b*y1=gcd(a,b),且也一定存在b*x2+a%b*y2=gcd(b,a%b).
因此由欧几里得算法和裴蜀定理知:
gcd(a,b)=gcd(b,a%b).
a*x1+b*y1=gcd(a,b).
b*x2+a%b*y2=gcd(b,a%b).
故:
a*x1+b*y1=b*x2+a%b*y2.
即:
a*x1+b*y1=b*x2+a-a/b*b*y2.
即:
a*x1+b*y1=b*(x2-a/b*y2)+a*y2.
因为左右两边相等,因此a和b的系数分别对应相等,因此x1和y1可以从x2和y2得来,
而x2和y2又可以向下递归,直到递归到欧几里得算法的边界,得到一组x2和y2的解,再因此向上回溯依次算出其对应的x1和y1,
即为满足a*x1+b*y1=gcd(a,b)的一组解x1和y1.

下面是Acwing一道模板题的代码:

题目链接

Acwing877. 扩展欧几里得算法

代码:

#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n,a,b,x,y;
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{if(!b){x=1,y=0;return a;}ll d=exgcd(b,a%b,x,y);ll temp=y;y=x-a/b*y;x=temp;return d;
}
int main()
{ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0);cin>>n;while(n--){cin>>a>>b;ll x,y;exgcd(a,b,x,y);cout<<x<<" "<<y<<'\n';}return 0;
}作者：前程似锦
链接：https://www.acwing.com/activity/content/code/content/1113777/
来源：AcWing
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