半正定矩阵的对角元素不小于该矩阵的最小特征值

证明方法一：

设 λ\lambdaλ 为半正定矩阵 AAA 的最小特征值，因为 A−λIA-λIA−λI 也是半正定矩阵(考虑标准形)，且半正定矩阵对角元大于等于 0 (考虑一级主子式)，于是得证.

证明方法二：

既然 A 是半正定矩阵，不妨假设最小的特征值为 λ\lambdaλ，则显然 A−λEA-\lambda{E}A−λE 也是半正定矩阵，其中 EEE 是单位矩阵。这是因为 AAA 对角化以后对元素减去 λ\lambdaλ 必然不小于 0。既然 A−λEA-\lambda{E}A−λE 也是半正定，则不妨假设 A−λEA-\lambda{E}A−λE 的对角元素最小为 λi\lambda{_i}λi ，不妨假定该对角元素是第 iii 个对角元素，则令
X=(0,0,…,0,1,0,…,0,0)TX=(0,0,…,0,1,0,…,0,0)^TX=(0,0,…,0,1,0,…,0,0)T
其中只有第 iii 个分量是1，其余均是 0。则
XT(A−λE)X=λ1⩾0X^T(A-\lambda{E})X=\lambda{_1}\geqslant 0XT(A−λE)X=λ1⩾0
最后一步是因为 A−λEA-\lambda{E}A−λE 半正定，得证。

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