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文章目录

联合概率及其分布、边缘概率及其分布、条件概率及其分布
- 联合概率与联合概率分布
- 边缘概率与边缘概率分布
- 条件概率与条件概率分布
联合概率、边缘概率、条件概率之间的关系
- 离散型分布的情况
- 连续型分布的情况
贝叶斯定理（贝叶斯公式）
- 先验概率
- 后验概率
- 贝叶斯公式

联合概率及其分布、边缘概率及其分布、条件概率及其分布

联合概率与联合概率分布

假设有随机变量X与Y, 此时，P（X=a,Y=b）用于表示X=a且Y=b的概率。这类包含多个条件且所有条件同时成立的概率称为联合概率。联合概率并不是其中某个条件的成立概率，而是所有条件同时成立的概率。
联合概率的一览表称为联合分布。

边缘概率与边缘概率分布

P（X=a）或P（Y=b）这类仅与单个随机变量有关的概率称为边缘概率。
边缘概率的一览表称为边缘分布。

条件概率与条件概率分布

在条件Y=b成立的情况下，X=a的概率，记作P（X=a|Y=b）或P（a|b）。
若只有两类事件X和Y，那么有
P(X=a∣Y=b)=P(X=a,Y=b)P(Y=b)P(X=a∣Y=b)=P(X=a,Y=b)P(Y=b)P(X=a∣Y=b)=P(X=a,Y=b)P(Y=b)P(X=a∣Y=b)=P(X=a,Y=b)P(Y=b)P(X=a∣Y=b)=P(X=a,Y=b)P(Y=b) \mathrm{P}(X=a | Y=b)=\frac{\mathrm{P}(X=a, Y=b)}{\mathrm{P}(Y=b)}P(X=a∣Y=b)=P(X=a,Y=b)P(Y=b)P(X=a∣Y=b)=P(X=a,Y=b)P(Y=b)P(X=a∣Y=b)=P(Y=b)P(X=a,Y=b)p(X)=Y∑p(X∣Y)p(Y)
我们可以把贝叶斯公式的分母p（x）看做归一化常数，来确保贝叶斯公式左侧的条件概率对于所有的Y的取值之和为1。

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