《算法导论》：关于循环不变式

试着理解一下《算法导论》中提到的循环不变式的概念，作者水平有限，如果内容存在纰漏的话希望大家批评指出。

算法导论在讨论插入排序算法的时候引入了循环不变式的概念，书中的描述是这样的：

事实上，元素A[1…j-1]就是原来在位置1到j-1的元素，但现在已按序排列。我们把A[1…j-1]的这些性质形式地表示为一个循环不变式

其中元素A[1…j-1]指的是排序算法左端已经按序排列的元素。

显然，我们能从原书的描述中明确几点：

循环不变式是算法性质的抽象，以插入排序为例，循环不变式表示的是左端元素的有序性和不变性（即没有引入循环上界外的元素到其中）
循环不变式能够帮我们证明算法的正确性，证明循环不变式的正确性即为证明算法的某些性质

那么问题来了，循环不变式的目的是为了帮助我们理解算法和证明算法的正确性，但具体该怎么做呢？

书上给出了解法：

关于循环不变式，我们必须证明三条性质：
初始化： 循环的第一次迭代之前，它为真
保持： 如果循环的某次迭代之前它为真，那么下次迭代之前它仍为真
终止： 在循环终止时，不变式为我们提供一个有用的性质，该性质有助于证明算法是正确的

简单来说，就是证明一个过程的初值符合要求，每次递归关系符合要求，结果符合要求。（很容易联想到数学归纳法，但循环不变式的证明存在终止，并不是无限地循环）

拿书中给出的插入排序的伪代码为例：

这里用循环不变式代表左侧已排序序列的有序性和元素不变性

1    for j=2 to A.length
2       key = A[j]
3       i = j - 1
4       while i>0 and A[i]>key
5           A[i+1] = A[i]
6           i = i - 1
7       A[i+1] = key

初始化： 在第一次循环迭代前（即j=1时）此时已排序序列仅有元素A[1]，显然有序且符合元素不变性

保持： 因为在循环中j的不断右移并向左侧插入数据，显然在循环时左侧的循环不变性是保持的（这里仅用来理解循环不变式所以不给出详细的数学证明）

终止： 当循环终止时（即j =A.length+1时），此时A[1…j-1]为整个数组，显然满足元素不变性，且可推断出数组已经有序，满足有序性

三者证正，即可证明循环不变式的正确性

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