可测函数积分的进一步性质

关于Lebesgue\text{Lebesgue}Lebesgue积分的一些简单性质可以看前面的文章.

现在继续看看(学习新知识_(:3」∠)_)有什么具体的性质.

设{Ai,i=1,2,...,n}\{A_i,i=1,2,...,n\}{Ai,i=1,2,...,n}是XXX的有限可测分割.

那么非负简单函数的是满足这样表达式的函数:
s=∑i=1naiXAis=\sum_{i=1}^{n} a_i \mathcal{X}_{A_i} s=i=1∑naiXAi
定义它的积分为:
∫Xsdμ=∑i=1naiμ(Ai)\int _{X} s\mathrm{d}\mu =\sum_{i=1}^n a_i \mu(A_i) ∫Xsdμ=i=1∑naiμ(Ai)
那么事实上对于同一个函数,它也有在另一个有限可测分割{Bi,i=1,2,...,n}\{B_i,i=1,2,...,n\}{Bi,i=1,2,...,n}下的表达式,这说明sss的表达式不唯一,但是可以证明sss在积分意义下是唯一的.

下面是非负简单函数s,ts,ts,t的一些性质:

Theorem 1 \text{Theorem 1 }Theorem 1 (1)∫XXAdμ=μ(A)\displaystyle \int _X \mathcal{X}_A \mathrm{d}\mu =\mu(A)∫XXAdμ=μ(A).

(2)∫Xsdμ⩾0\displaystyle \int _X s \mathrm{d}\mu \geqslant 0∫Xsdμ⩾0.

(3)∫X(as)dμ=a∫Xsdμ\displaystyle \int _{X} (as)\mathrm{d}\mu=a\int _X s \mathrm{d}\mu∫X(as)dμ=a∫Xsdμ.

(4) ∫X(s+t)dμ=∫Xsdμ+∫Xtdμ\displaystyle \int_X (s+t)\mathrm{d}\mu = \int_X s\mathrm{d}\mu +\int _X t\mathrm{d}\mu∫X(s+t)dμ=∫Xsdμ+∫Xtdμ.

(5)如果s⩾ts\geqslant ts⩾t,那么∫Xsdμ⩾∫Xtdμ\displaystyle \int _X s\mathrm{d}\mu \geqslant \int _X t\mathrm{d}\mu∫Xsdμ⩾∫Xtdμ.

(6)如果sn↑\displaystyle s_n \uparrowsn↑,且lim⁡n→∞sn⩾t\displaystyle \lim_{n\to\infty}s_n\geqslant tn→∞limsn⩾t,那么lim⁡n→∞∫Xsndμ⩾∫Xtdμ\displaystyle \lim_{n\to \infty} \int _{X}s_n\mathrm{d}\mu \geqslant \int _X t\mathrm{d}\mun→∞lim∫Xsndμ⩾∫Xtdμ.

这些性质在前面已经证明过,故不再给予证明.

定义了非负简单函数,就相当于给一般可测函数的积分奠定了基础.但是还是要先给出非负可测函数fff的定义,再将其推广到一般可测函数.
∫Xfdμ:=sup⁡{∫Xsdμ∣s是非负简单函数,且s⩽f}\int _{X} f \mathrm{d}\mu := \sup \{ \int _X s \mathrm{d}\mu | s是非负简单函数,且s\leqslant f\} ∫Xfdμ:=sup{∫Xsdμ∣s是非负简单函数,且s⩽f}
可以证明:

Theorem 2\text{Theorem 2}Theorem 2(1)如果fff是非负简单函数,则和前面的定义不冲突.

(2)如果{si,i=1,2,...,n}\{s_i, i=1,2,...,n\}{si,i=1,2,...,n}是非负简单函数的序列,且sn↑fs_n\uparrow fsn↑f是非负可测函数,那么lim⁡n→∞∫Xsndμ=∫Xfdμ\displaystyle \lim _{n\to \infty}\int _{X}s_n\mathrm{d}\mu=\int _X f\mathrm{d}\mun→∞lim∫Xsndμ=∫Xfdμ.

(3)∫Xfdμ⩾0\displaystyle \int _X f\mathrm{d}\mu\geqslant 0∫Xfdμ⩾0.

(4)∫X(af)dμ=a∫Xfdμ\displaystyle \int _{X} (af)\mathrm{d}\mu=a\int _X f \mathrm{d}\mu∫X(af)dμ=a∫Xfdμ.

(5)∫X(f+g)dμ=∫Xfdμ+∫Xgdμ\displaystyle \int_X (f+g)\mathrm{d}\mu = \int_X f\mathrm{d}\mu +\int _X g\mathrm{d}\mu∫X(f+g)dμ=∫Xfdμ+∫Xgdμ.

(6)如果f⩾gf\geqslant gf⩾g,那么∫Xfdμ⩾∫Xgdμ\displaystyle \int _X f\mathrm{d}\mu \geqslant \int _X g\mathrm{d}\mu∫Xfdμ⩾∫Xgdμ.

这些性质在前面已经证明过,故不再给予证明.

现在定义了非负可测函数,则一般可测函数fff的积分就自然确立了.

设f+=fI{f⩾0},f−=−fI{f⩽0}\displaystyle f^+=fI_{\{f\geqslant 0\}},f^-=-fI_{\{f\leqslant 0\}}f+=fI{f⩾0},f−=−fI{f⩽0},可以知道这是合理定义的,并且f+,f−\displaystyle f^+,f^-f+,f−都是非负可测函数,并且有f=f+−f−\displaystyle f=f^+-f^-f=f+−f−,只需证∫X(f+−f−)dμ=∫Xf+dμ−∫Xf−dμ\displaystyle \int_{X}(f^+-f^-)d \mu=\int _X f^+\mathrm{d}\mu -\int_X f^-\mathrm{d}\mu∫X(f+−f−)dμ=∫Xf+dμ−∫Xf−dμ,就有以上结论.

但是还有一种情况:如果f+,f−\displaystyle f^+,f^-f+,f−的积分同时到达了∞\infty∞,那么因为∞−∞\infty -\infty∞−∞是未定式,所以这样的积分是没有意义的,故而引出下面几个概念.

definition \text{definition }definition (1)如果min⁡{∫Xf+dμ,∫Xf−dμ}<∞\displaystyle \min\{\int _X f^+\mathrm{d}\mu,\int _X f^-\mathrm{d}\mu \}<\inftymin{∫Xf+dμ,∫Xf−dμ}<∞,称fff积分存在.

(2)如果max⁡{∫Xf+dμ,∫Xf−dμ}<∞\displaystyle \max\{\int _X f^+\mathrm{d}\mu,\int _X f^-\mathrm{d}\mu \}<\inftymax{∫Xf+dμ,∫Xf−dμ}<∞,称fff可积.

因此由上定义,非负可测函数总是积分存在的,但是非负可测函数不一定是可积的.一般可测函数积分有可能不存在,当然不一定可积.

显然fff可积当且仅当fff的积分值存在并且有限.

Theorem 3 \text{Theorem 3 }Theorem 3 (1)如果fff的积分存在,那么∣∫Xfdμ∣⩽∫X∣f∣dμ\displaystyle |\int _X f d \mu|\leqslant \int _X |f| d \mu∣∫Xfdμ∣⩽∫X∣f∣dμ.

(2)fff可积当且仅当∣f∣|f|∣f∣可积.

(3)如果fff可积,那么∣f∣<∞a.e.|f|<\infty\text{ a.e.}∣f∣<∞ a.e.

只证第(3)问,用于体现a.e\text{a.e}a.e性质的定理如何证明.

只需证明非负可测函数成立.

如果μ(f=∞)>0\mu(f=\infty)>0μ(f=∞)>0,那么∫Xfdμ⩾∫XfX{f=∞}dμ⩾Mμ(f=∞),∀M>0\displaystyle \int _X f\mathrm{d}\mu \geqslant \int _X f\mathcal{X_{\{f=\infty\}}}\mathrm{d}\mu \geqslant M\mu(f=\infty),\forall M>0∫Xfdμ⩾∫XfX{f=∞}dμ⩾Mμ(f=∞),∀M>0

那么∫Xfdμ=∞\displaystyle \int _X f\mathrm{d}\mu =\infty∫Xfdμ=∞,与fff可积矛盾.

研究fff函数之间的关系,可以由测度的性质,得出它们只需要在测度空间上几乎处处成立的条件就能引出结论.

Theorem 4 \text{Theorem 4 }Theorem 4 (1)如果μ(A)=0\mu(A)=0μ(A)=0,那么如果fff积分积分存在,那么∫Afdμ=0\displaystyle \int_A f\mathrm{d}\mu =0∫Afdμ=0.

(2)如果f,gf,gf,g积分存在且,f⩾g,a.e.f\geqslant g,\text{ a.e.}f⩾g, a.e.,那么∫Xfdμ⩾∫Xgdμ\displaystyle \int _X f\mathrm{d}\mu\geqslant \int _X g d \mu∫Xfdμ⩾∫Xgdμ.

(3)如果f,gf,gf,g其中一个积分存在且,f=g,a.e.f= g,\text{ a.e.}f=g, a.e.,那么另一个积分也存在,且∫Xfdμ=∫Xgdμ\displaystyle \int _X f\mathrm{d}\mu= \int _X g d \mu∫Xfdμ=∫Xgdμ.

(4)非负可测函数f=0a.e.f=0\text{ a.e.}f=0 a.e.当且仅当∫Xfdμ=0\displaystyle \int _X f\mathrm{d}\mu=0∫Xfdμ=0.

(5)如果∫Xfdμ+∫Xgdμ\displaystyle \int _Xf \mathrm{d}\mu+\int _X g\mathrm{d}\mu∫Xfdμ+∫Xgdμ有意义,那么f+ga.e.f+g\text{ a.e.}f+g a.e.有定义,且∫X(f+g)dμ=∫Xfdμ+∫Xgdμ\displaystyle\int_X (f+g)\mathrm{d}\mu=\int_X f\mathrm{d}\mu +\int _X g\mathrm{d}\mu∫X(f+g)dμ=∫Xfdμ+∫Xgdμ.

(6)如果∫Afdμ⩾∫Agdμ,∀A∈F\displaystyle \int _A f\mathrm{d}\mu\geqslant \int _A g\mathrm{d}\mu,\forall A\in \mathscr{F}∫Afdμ⩾∫Agdμ,∀A∈F,那么f⩾ga.e.f\geqslant g \text{ a.e.}f⩾g a.e..

(7)如果∫Afdμ=∫Agdμ,∀A∈F\displaystyle \int _A f\mathrm{d}\mu= \int _A g\mathrm{d}\mu,\forall A\in \mathscr{F}∫Afdμ=∫Agdμ,∀A∈F,那么f=ga.e.f= g \text{ a.e.}f=g a.e..

(8)(Levi\text{Levi}Levi)设{fn,n=1,2,⋯ },f\{f_n,n=1,2,\cdots\},f{fn,n=1,2,⋯},f几乎处处为非负可测函数且fn↑fa.e.f_n\uparrow f\text{ a.e.}fn↑f a.e.,那么∫Xfndμ↑∫Xfdμ\displaystyle \int _X f_n\mathrm{d}\mu \uparrow \int _X f \mathrm{d}\mu∫Xfndμ↑∫Xfdμ.

(9)(Fatou\text{Fatou}Fatou)设{fn,n=1,2,⋯ }\{f_n,n=1,2,\cdots\}{fn,n=1,2,⋯}几乎处处为非负可测函数,那么:
∫X(lim inf⁡n→∞fn)dμ⩽lim inf⁡n→∞∫Xfndμ\int _X (\liminf _{n\to \infty} f_n)\mathrm{d}\mu \leqslant \liminf _{n\to \infty} \int _X f_n\mathrm{d}\mu ∫X(n→∞liminffn)dμ⩽n→∞liminf∫Xfndμ
(10)前面已经证明的Lebesgue\text{Lebesgue}Lebesgue控制收敛定理和Lebesgue\text{Lebesgue}Lebesgue有界收敛定理.

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