博弈论（Nim游戏、有向图游戏之SG函数）
这里写目录标题
- 经典NIM游戏
- Nim游戏属于公平组合游戏ICG
- 有向图游戏(SG函数）
- Mex运算
- SG函数
- 单个有向图（一堆石子）
- 求SG值（记忆化递归）
- 有向图游戏的和 ，（多个有向图（多堆石子）
- 模板题 AcWing 893. 集合-Nim游戏
- 练兵时间到（习题集）
- game（取后可分为两堆 (x^y<=x+y)
- S-Nim + sg函数+博弈+模板（vis数组代替set
- Nim or not Nim?取*或* 分成两堆
- A New Stone Game
- 从最小最简单的情况搞起
- 分析：
- Georgia and Bob
- 思路一：阶梯Nim
- 思路二：SG函数实现n-Nim
- 思路三：普通取数Nim
- JZOJ4178【NOI2015模拟YDC】游戏（阶梯nim游戏）
- jzoj 4024 石子游戏 {筛素数+博弈论（NIM博弈/SG函数）}
- 内存分区
- 待学
- 参考
经典NIM游戏
模板题 AcWing 891. Nim游戏
给定N堆物品，第i堆物品有Ai个。两名玩家轮流行动，每次可以任选一堆，取走任意多个物品，可把一堆取光，但不能不取。取走最后一件物品者获胜。两人都采取最优策略，问先手是否必胜。
我们把这种游戏称为NIM博弈。把游戏过程中面临的状态称为局面。整局游戏第一个行动的称为先手，第二个行动的称为后手。若在某一局面下无论采取何种行动，都会输掉游戏，则称该局面必败。
所谓采取最优策略是指，若在某一局面下存在某种行动，使得行动后对面面临必败局面，则优先采取该行动。同时，这样的局面被称为必胜。我们讨论的博弈问题一般都只考虑理想情况，即两人均无失误，都采取最优策略行动时游戏的结果。
NIM博弈不存在平局，只有先手必胜和先手必败两种情况。
定理： NIM博弈先手必胜，当且仅当 A1 ^ A2 ^ … ^ An != 0
Nim游戏属于公平组合游戏ICG
若一个游戏满足：
- 由两名玩家交替行动；
- 在游戏进程的任意时刻，
- 可以执行的合法行动与轮到哪名玩家无关； 不能行动的玩家判负；
则称该游戏为一个公平组合游戏。
NIM博弈属于公平组合游戏，但城建的棋类游戏，比如围棋，就不是公平组合游戏。因为围棋交战双方分别只能落黑子和白子，胜负判定也比较复杂，不满足条件2和条件3。
有向图游戏(SG函数）
给定一个有向无环图，图中有一个唯一的起点，在起点上放有一枚棋子。两名玩家交替地把这枚棋子沿有向边进行移动，每次可以移动一步，无法移动者判负。该游戏被称为有向图游戏。
任何一个公平组合游戏都可以转化为有向图游戏。具体方法是，把每个局面看成图中的一个节点，并且从每个局面向沿着合法行动能够到达的下一个局面连有向边。
（以当前局面作为图中的一个节点，由当前局面可以到达的局面作为当前节点的后继节点，那么整体就可以形成一个图的结构，这样的一个公平组合游戏就形成了一个“有向图游戏”。）
Mex运算
设S表示一个非负整数集合。定义mex(S)为求出不属于集合S的最小非负整数的运算，即：
mex(S) = min{x}, x属于自然数，且x不属于S
SG函数
在有向图游戏中，对于每个节点x，设从x出发共有k条有向边，分别到达节点y1,y2,…,yky_1, y_2, …, y_ky1,y2,…,yk，定义SG(x)为x的后继节点 y1,y2,…,yky_1, y_2, …, y_ky1,y2,…,yk 的SG函数值构成的集合再执行mex(S)mex(S)mex(S)运算的结果，即：
SG(x)=mex(SG(y1),SG(y2),…,SG(yk))SG(x) = mex({SG(y_1), SG(y_2), …, SG(y_k)})SG(x)=mex(SG(y1),SG(y2),…,SG(yk))
特别地，整个有向图游戏G的SG函数值被定义为有向图游戏起点s的SG函数值，即SG(G)=SG(s)SG(G) = SG(s)SG(G)=SG(s)。
单个有向图（一堆石子）
定理
有向图游戏的某个局面必胜，当且仅当该局面对应节点的SG函数值大于0。
有向图游戏的某个局面必败，当且仅当该局面对应节点的SG函数值等于0。
如上图所示，当仅有一堆石子时，如果SG(初始局面对应的点）≠0，先手必胜，为零则必败
原因：
SG值经过了Mex运算，倘若SG（s）不为0，s所有的后继局面对应的点之中，必定有一点SG值为0，
当走到SG值为0的这一点时，根据Mex运算，该点所连接的所有点的值中一定不存在SG值为0的后继局面，只要先手面对的局面的SG值不为0，如此往复，先手一定会走到最后的终点（终止状态的SG的值定义为0）
- 终止状态的SG的值定义为0
- SG值为0的点为必败态，它的后继节点中不存在SG值为0的点
- SG值非0的点为必胜态，它的后继节点中存在一点SG值为0
求SG值（记忆化递归）
#include <set>
const int N=105;
const int M=10005;
int k;
int s[N];//选取数的集合
int n,v;
int f[M];//记忆化递归，记录每个有向图当下局面的SG值
//f存储的是所有可能出现过的局面的sg值，
//因为每个局面的SG值都要由她所有后继局面的SG值决定
int SG(int x){if(f[x]!=-1)return f[x];
//每个局面的sg值都是确定的,如果存储过了,直接返回即可set<int> S;
//只针对当下一个局面，存放这个局面的若干后继局面
//每个局面都会新定义一个set集合 for(int i=0;i<k;i++){//枚举每一个可能的后继局面，把后继局面的SG值放到x对应的set集合中 int ss=s[i];if(x>=ss){S.insert(SG(x-ss));
//先延伸到终点的sg值后,再回溯得出所有数的sg值
//记忆化递归，先求出终点sg值，再从后往前}}for(int i=0;;i++){//选没有出现在 x的后继局面的SG值中的 最小自然数 if(S.count(i)==0){f[x]=i;return f[x];}}
}
有向图游戏的和 ，（多个有向图（多堆石子）
设G1, G2, …, Gm 是m个有向图游戏。定义有向图游戏G，它的行动规则是任选某个有向图游戏Gi，并在Gi上行动一步。G被称为有向图游戏G1, G2, …, Gm的和。
有向图游戏的和的SG函数值等于它包含的各个子游戏SG函数值的异或和，即： SG(G) = SG(G1) ^ SG(G2) ^ … ^
SG(G_m)
证明：（同Nim游戏）
1.终止状态为异或和为0的局面，显然是先手必败局面（当最终每一堆石子都无法操作时，每一堆的SG值为0），满足SG定理
2.由各个有向图当下局面的SG异或和不为0，采取类似Nim游戏中的最佳决策，一定可以到异或和为0的状态
异或和x不为0，x必定存在最高位（第k位）的1，必定存在第k位为1的SGi，SGi > SGi ^ x, 让SGi 变为 SGi ^ x
小于SGi的非负整数都属于SGi的后继节点
3.由异或和为0的状态只能到达异或和不为0的状态
本着最佳决策，面对异或和非零的局面，理应在第i个有向图中，将状态由SGi转到 SGi ^ x (各有向图的异或值）从而把异或和为0的局面抛给对手，
可是，对于以下解释，我没懂为啥，将SGi移动到SG值更大的节点 SGi’ 时，另一方一定可以找到和 SGi’相等的另一个有向图且有着SGi 的后继状态？？？
模板题 AcWing 893. 集合-Nim游戏
#include <iostream>
#include <string.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
#include <set>
const int N=105;
const int M=10005;
int k;
int s[N];//选取数的集合
int n,v;
int f[M];//记忆化递归，记录每个有向图当下局面的SG值
//f存储的是所有可能出现过的局面的sg值，
//因为每个局面的SG值都要由她所有后继局面的SG值决定
int SG(int x){if(f[x]!=-1)return f[x];
//每个局面的sg值都是确定的(因为对于确定的石子数，可取的方案只有S数组中存的那几种，石子数相同的状态后续局面一定完全相同，对应的SG值一定相同,如果存储过了,直接返回即可
//
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