[博弈论] Nim游戏及SG函数(经典+台阶+集合+拆分)

文章目录

0. 前言
1. Nim 游戏+模板题
2. 台阶 - Nim 游戏+变种题
3. Mex运算与SG函数
4. 集合 - Nim 游戏+变种题
5. 拆分 - Nim 游戏+变种题

0. 前言

一堆关于基础博弈论算法题的相关定义：

NIM游戏：

给定N堆物品，第i堆物品有Ai个。两名玩家轮流行动，每次可以任选一堆，取走任意多个物品，可把一堆取光，但不能不取。取走最后一件物品者获胜。两人都采取最优策略，问先手是否必胜。

我们把这种游戏称为NIM博弈。把游戏过程中面临的状态称为局面。整局游戏第一个行动的称为先手，第二个行动的称为后手。若在某一局面下无论采取何种行动，都会输掉游戏，则称该局面必败。

所谓采取最优策略是指，若在某一局面下存在某种行动，使得行动后对面面临必败局面，则优先采取该行动。同时，这样的局面被称为必胜。我们讨论的博弈问题一般都只考虑理想情况，即两人均无失误，都采取最优策略行动时游戏的结果。

NIM博弈不存在平局，只有先手必胜和先手必败两种情况。

定理： NIM博弈先手必胜，当且仅当 A1 ^ A2 ^ … ^ An != 0

公平组合游戏ICG：

若一个游戏满足：

由两名玩家交替行动；
在游戏进程的任意时刻，可以执行的合法行动与轮到哪名玩家无关；
不能行动的玩家判负；

则称该游戏为一个公平组合游戏。

NIM博弈属于公平组合游戏，但城建的棋类游戏，比如围棋，就不是公平组合游戏。因为围棋交战双方分别只能落黑子和白子，胜负判定也比较复杂，不满足条件2和条件3。

有向图游戏：

给定一个有向无环图，图中有一个唯一的起点，在起点上放有一枚棋子。两名玩家交替地把这枚棋子沿有向边进行移动，每次可以移动一步，无法移动者判负。该游戏被称为有向图游戏。

任何一个公平组合游戏都可以转化为有向图游戏。具体方法是，把每个局面看成图中的一个节点，并且从每个局面向沿着合法行动能够到达的下一个局面连有向边。

Mex运算：

设S表示一个非负整数集合。定义mex(S)为求出不属于集合S的最小非负整数的运算，即： mex(S) = min{x}, x属于自然数，且x不属于S

SG函数：

在有向图游戏中，对于每个节点x，设从x出发共有k条有向边，分别到达节点y1, y2, …, yk，定义SG(x)为x的后继节点y1, y2, …, yk 的SG函数值构成的集合再执行mex(S)运算的结果，即： SG(x) = mex({SG(y1), SG(y2), …, SG(yk)}) 特别地，整个有向图游戏G的SG函数值被定义为有向图游戏起点s的SG函数值，即SG(G) = SG(s)。

有向图游戏的和：

设G1, G2, …, Gm 是m个有向图游戏。定义有向图游戏G，它的行动规则是任选某个有向图游戏Gi，并在Gi上行动一步。G被称为有向图游戏G1, G2, …,Gm的和。有向图游戏的和的SG函数值等于它包含的各个子游戏SG函数值的异或和，即： SG(G) = SG(G1) ^ SG(G2) ^ …^ SG(Gm)

定理：

有向图游戏的某个局面必胜，当且仅当该局面对应节点的SG函数值大于0。

有向图游戏的某个局面必败，当且仅当该局面对应节点的SG函数值等于0。

1. Nim 游戏+模板题

891. Nim游戏

重点： 式子推导

公式梳理的还是很清楚的，就是字难看…

总结：初始所有石子异或值为 0，则先手必败，异或值不为 0，则先手必胜。

代码：

#include <iostream>using namespace std;int main() {int n, res = 0;cin >> n;while (n --) {int a;cin >> a;res ^= a;}if (res) puts("Yes");else puts("No");return 0;
}

2. 台阶 - Nim 游戏+变种题

892. 台阶-Nim游戏

重点： 式子推导

某些式子需要用到 Nim 游戏的些许证明，翻上去看就行了。字迹潦草…

总结：初始所有奇数阶石子异或值为 0，则先手必败，异或值不为 0，则先手必胜。

思考：为什么不判断偶数级台阶的异或呢？

理解方式一：必败态是所有奇数阶台阶的异或和为 0，其余的为必胜态。因为每一个这种定义的必败态不论怎么操作，对手都可以再把你转移回必败态；反之任何一个必胜态，一定存在一种转移到必败态的方式。
理解方式二：假如对手处于偶数台阶的异或为 0 的局面，他可以通过把第一个台阶的所有石子全部放到地面上，而轮到我们的时候就只能破坏这个异或为 0 的局面（因为不能移动第 0 个台阶也就是地面，只能移动其他台阶的石子），把必胜的局面（异或为非 0）给了对手。但是作为先手方就是要避免这种情况出现，采取最优策略是不会让对手偶数阶台阶异或为 0，且一号台阶有石子的。那么，当先手方遇到初始偶数阶台阶异或为 0 情况时，拿光 1 号台阶的石子到地面保持自己的必败态？这是不现实的，这就不叫做最优策略，而是最蠢策略了。所以通过判断偶数阶台阶异或为 0 的操作，必胜态与必败态之间的转化是困难的。中间绕的弯很多，暂时没找到很好的策略来解释这个问题。

代码：

#include <iostream>using namespace std;int main() {int n;cin >> n;int res = 0, cnt = 0;while (n --) {int a;cin >> a;++ cnt;if (cnt % 2) res ^= a;}puts(res ? "Yes": "No");return 0;
}

3. Mex运算与SG函数

Mex运算：

设S表示一个非负整数集合。定义mex(S)为求出不属于集合S的最小非负整数的运算，即： mex(S) = min{x}, x属于自然数，且x不属于S

SG函数：

在有向图游戏中，对于每个节点x，设从x出发共有k条有向边，分别到达节点y1, y2, …, yk，定义SG(x)为x的后继节点y1,y2, …, yk 的SG函数值构成的集合再执行mex(S)运算的结果，即： SG(x) = mex({SG(y1), SG(y2), …,SG(yk)}) 特别地，整个有向图游戏G的SG函数值被定义为有向图游戏起点s的SG函数值，即SG(G) = SG(s)。

SG(k)有k个后继节点，且分别为 0~k-1

非 0 可以走向 0

0 只能走向非 0

多个独立局面的SG值等于这些局面的SG值的异或值

例：若 S=[2,5]S=[2,5]S=[2,5] 表示每次只能取 2 个或 5 个石子，h=10h=10h=10 表示公有 10 个石子，则有展开形式为：

定理： 对于一个图 G，如果 SG(G) != 0，则先手必胜，反之必败

证明：

如果 SG(G) = !0，则根据性质 2，先手必可以走向 0，所以后手遇见的是 0 的局面，然而 0 局面仅对应终点局面或者只能走向非 0 局面。故先手必胜。

定理： 对于 n 个图，如果 SG(G1) ^ SG(G2) ^ ... ^ SG(Gn) ^ != 0，则先手必胜，反之必败。

证明：

类比 Nim 游戏
当 SG(Gi) = 0 时，xor = 0，显然先手必败，简单理解为所有图中均无石子可取。终止状态必为目前这个局面，但是当前局面并不一定为终止状态
当 xor = x = !0，因为肯定存在一个 SG(Gi) ^ x < SG(xi)，而根据 SG() 性质 1，SG(k) 可以走到 0~k-1 的任何一个状态。因此，必定可以从 SG(xi) 走到 SG(xi)^x 状态，那么使得 xor = 0
当 xor = 0 ，类比 Nim 游戏，每移动一个节点，对应的 SG 值必然减小，且 xor != 0。即若 xor = 0，则说明移动的那个节点的值并没有变化，即从 SG(k) 变成了 k，但是这与 SG 函数性质 1 矛盾。这个证明完全与 Nim 游戏证明方式相同。

4. 集合 - Nim 游戏+变种题

893. 集合-Nim游戏

重点： SG 函数，dfs 求解 SG 值

采用记忆化搜索来求解 SG 值，在此还需理解石子相同那么 SG 值也相同的原因

因为取法方式唯一，那么所能造成的局面是固定的
不论是它作为起点，后序的分支局面都已经确定了
还是它作为某个分支中的一个局面，那么它后序的局面也已经确定了
所以，相同石子的 SG 值相等。所以可以采用记忆化搜索来加速搜索效率

代码：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <unordered_set>using namespace std;const int N = 105, M = 1e4+5;int n, k;
int s[N], f[M];     // s存取石子的方法，f存取所有取法对应的sg值// dfs求取sg结果
int sg(int x) {if (f[x] != -1) return f[x];unordered_set<int> S;               // 哈希表存所有可以到的局面for (int i = 0; i < k; ++i) if (x >= s[i]) S.insert(sg(x - s[i]));     for (int i = 0 ; ; ++i) if (!S.count(i))return f[x] = i;
}int main() {cin >> k;                   // s个固定取法memset(f, -1, sizeof f);    // 记忆化搜索数组初始化for (int i = 0; i < k; ++i) cin >> s[i];    cin >> n;                   // 每堆石子的数量int res = 0;            for (int i = 0; i < n; ++i) {int x;cin >> x;res ^= sg(x);}puts(res ? "Yes" : "No");return 0;
}

5. 拆分 - Nim 游戏+变种题

894. 拆分-Nim游戏

重点： SG 函数，dfs 求解 SG 值

思路：

这个相较于上题来讲，本题每一堆可以变成不大于原来那堆的任意大小的两堆。这样保证了最大石子可以一直变小，则一定会结束
a 石子分解成 b 石子和 c 石子，肯定需要保证 b 和 c 均小于 a。且为了保证不进行重复计算，枚举的时候 b 大于等于 c 注意下就行了
则此时局面 a，拆分成了两个独立局面 b 和 c，由于 SG 函数性质，多个独立局面的 SG 值等于这些局面 SG 值的异或
所以，哈希表中存的就是 sg(b) ^ sg(c) 这是本题与上题的唯一区别

代码：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <unordered_set>using namespace std;const int N = 105;int n;
int f[N];int sg(int x) {if (f[x] != -1) return f[x];unordered_set<int> S;for (int i = 0; i < x; ++i) for (int j = 0; j <= i; ++j) S.insert(sg(i) ^ sg(j));for (int i = 0; ; ++i)if (!S.count(i))return f[x] = i;
}int main() {cin >> n;memset(f, -1, sizeof f);int res = 0; for (int i = 0; i < n; ++i) {int x;cin >> x;res ^= sg(x);}puts(res ? "Yes" : "No");return 0;}